耗時(shí)30年，近1000頁論文，終于攻克了「幾何朗蘭茲猜想」！

朗蘭茲綱領(lǐng)，又被稱為「大一統(tǒng)理論」，困擾了數(shù)學(xué)家多半個(gè)世紀(jì)，至今仍是一個(gè)未解之謎。

如今，來自普朗克數(shù)學(xué)研究所Dennis Gaitsgory和耶魯大學(xué)Sam Raskin領(lǐng)銜九人團(tuán)隊(duì)，在五篇論文中，完成了證明其中一個(gè)分支的壯舉。

他們的成果不僅解決了這一難題，還為數(shù)學(xué)界開辟了全新的探索領(lǐng)域。

Dennis Gaitsgory和Sam Raskin

值得一提的是，九位天才數(shù)學(xué)家中，其中一位還是來自清華丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心的助理教授陳麟。

半世紀(jì)難題，數(shù)學(xué)「圣杯」或被摘下

1967年，「朗蘭茲綱領(lǐng)」（Langlands Program）正式被提出。

當(dāng)時(shí)，30歲的普林斯頓大學(xué)教授Robert Langlands在給André Weil一封長達(dá)17頁的親筆信中，首次闡述了自己的設(shè)想。

信中，Langlands表示，在「羅塞塔石碑」所對應(yīng)的數(shù)論和函數(shù)域中，或許可能創(chuàng)建出一個(gè)傅里葉分析的推廣理論。

「朗蘭茲綱領(lǐng)」也被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的「羅塞塔石碑」，試圖統(tǒng)一數(shù)論、函數(shù)域、幾何三大領(lǐng)域

Langlands的目標(biāo)是，將數(shù)學(xué)中兩個(gè)截然不同的分支：數(shù)論（研究整數(shù)）和調(diào)和分析（研究復(fù)雜信號如何分解成簡單波）連接起來。

通過「朗蘭茲綱領(lǐng)」，許多傳統(tǒng)數(shù)論中的難題，可以轉(zhuǎn)化為表示論等其他領(lǐng)域的問題，借助新視角和工具得以解決。

值得一提的是，1995年Andrew Wiles證明的「費(fèi)馬大定理」，便借鑒了「朗蘭茲綱領(lǐng)」的核心思想。

當(dāng)n大于2時(shí)，不存在正整數(shù)a、b、c滿足an+bn=cn

除了在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，這一綱領(lǐng)還被廣泛應(yīng)用在物理學(xué)等學(xué)科上，比如量子場論。

可以看出，Langlands當(dāng)時(shí)僅提出了兩大領(lǐng)域，直到1980年代，Vladimir Drinfeld首次提出了「幾何朗蘭茲猜想」。

與數(shù)論形式一樣，幾何也建立在某種聯(lián)系上：暗示兩類不同的數(shù)學(xué)對象之間存在對應(yīng)關(guān)系。

它們?nèi)叨寂c「黎曼曲面」相關(guān)。

這是一維復(fù)流形，其坐標(biāo)為復(fù)數(shù)，即實(shí)部和虛部的組合，這些流形可以是球體、甜甜圈，或帶多個(gè)「洞」的椒鹽卷形狀。

數(shù)論猜想，是完全分離的「數(shù)學(xué)世界」，幾何猜想所關(guān)聯(lián)的兩者差異較小。

那時(shí)，許多數(shù)學(xué)家猜測，幾何朗蘭茲猜想的證明，可能推動(dòng)更難的數(shù)論的發(fā)展。

幾何朗蘭茲，連接「兩個(gè)世界」

在幾何中，「基本群」是其中的一方。一個(gè)黎曼曲面的基本群，描述了圍繞該曲面可以打結(jié)的所有不同方式。

以甜甜圈為例，可以繞其外緣水平地打圈，也可以穿過洞口豎直地繞圈。

幾何朗蘭茲猜想研究的是，這種基本群的「表示」，即用矩陣（數(shù)字的網(wǎng)格）來表達(dá)其性質(zhì)。

猜想的另一方，則涉及了特殊類型的「層」（sheaves）。

這是代數(shù)幾何中的工具，用于為流形上的每個(gè)點(diǎn)分配一個(gè)「向量空間」，就像描述重力場的函數(shù)可以為3D空間中的每一點(diǎn)分配一個(gè)表示重力強(qiáng)度的數(shù)值一樣。

「幾何朗蘭茲猜想」被提出之后，許多數(shù)學(xué)家早在在1990年代不斷嘗試，試圖破解這一證明。

關(guān)于這一猜想的精確表述，更是到了本世紀(jì)才現(xiàn)身。

2012年，Dennis Gaitsgory聯(lián)手Dima Arinkin，在150多頁論文中進(jìn)一步給出了準(zhǔn)確表述。隨后，Dennis又獨(dú)立撰寫了一份「幾何朗蘭茲猜想」證明的逐步提綱。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/1201.6343

直到最新一系列證明的出現(xiàn)，直接推動(dòng)了「朗蘭茲綱領(lǐng)」局部的研究。局部是指圍繞「繞黎曼曲面」上某一點(diǎn)的環(huán)面區(qū)域內(nèi)的對象性質(zhì)。

五篇近千頁論文，狂肝30年

從2023年起，Dennis Gaitsgory和Sam Raskin帶隊(duì)，聯(lián)手其他7位合著者一個(gè)攻關(guān)。

最終，他們于2024年一共發(fā)表了五篇arXiv論文，長達(dá)千頁。

地址：https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

這第一篇，主要聚焦于functor（函子）的構(gòu)造，需要實(shí)現(xiàn)從自守形式到譜方向的轉(zhuǎn)化。

通過構(gòu)造幾何朗蘭茲函子LG并驗(yàn)證其范疇等價(jià)性，即在相關(guān)范疇間建立完全對應(yīng)的映射關(guān)系。

這一關(guān)系的證實(shí)，將直接推導(dǎo)出「幾何朗蘭茲猜想」的正確性。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.03599

第二篇，深入研究了Kac-Moody局部與全局結(jié)構(gòu)之間的相互作用，并在特定條件下，證明了所構(gòu)造的函子是一個(gè)等價(jià)性函子，推動(dòng)了猜想的證明。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.03648

第三篇不僅將已知的等價(jià)性結(jié)果，推廣至更一般的情形，還借助Kac-Moody局部化技術(shù)，進(jìn)一步揭示了幾何朗蘭茲函子和常數(shù)項(xiàng)函子之間的深刻聯(lián)系。

同時(shí)，它在可約譜參數(shù)下，驗(yàn)證了猜想的兼容性，為最終攻克不可約譜參數(shù)鋪路。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2409.07051

接下來這篇中，研究人員證明了Ambidexterity定理——揭示了左伴隨和右伴隨函子的同構(gòu)性。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2409.08670

最后一篇論文，證明了唯一性定理，并將「幾何朗蘭茲猜想」推廣至一般情況。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2409.09856

這一系列研究的完成，徹底為「幾何朗蘭茲猜想」畫上了句號。

斬獲數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)

這一成就的分量迅速得到數(shù)學(xué)界的認(rèn)可。

今年4月，Gaitsgory獲得300萬美元的數(shù)學(xué)突破獎(jiǎng)（Breakthrough Prize in Mathematics）。

Gaitsgory在接受《科學(xué)美國人》的德語姊妹刊物《科學(xué)光譜》的采訪時(shí)透露。

1000頁的證明，95%是我寫的，當(dāng)時(shí)我滑雪受傷了，只能躺在床上。

閑著也是閑著，我就一邊和兒子看《星球大戰(zhàn)》，一邊寫證明。

不愧是大佬，這樣也行。

Raskin則獲得了「新視野獎(jiǎng)」（New Horizons Prize），該獎(jiǎng)項(xiàng)專為有前途的早期職業(yè)數(shù)學(xué)家設(shè)立。

和許多數(shù)學(xué)重大成果一樣，這項(xiàng)證明有望在不同領(lǐng)域之間架起橋梁，使一個(gè)領(lǐng)域的工具能用來攻克另一個(gè)領(lǐng)域的難題。

九人天團(tuán)，清華陳麟在列

九人團(tuán)隊(duì)中，其中一位中國學(xué)者是陳麟。

他是清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心助理教授。

陳麟是真正的少年天才，12歲沖進(jìn)CMO競賽拿下滿分，又在15歲進(jìn)入國家隊(duì)一舉奪下了IMO金牌。

2016在北京大學(xué)取得學(xué)士學(xué)位，2021年博士畢業(yè)于哈佛大學(xué)，曾榮獲哈佛2020-2021優(yōu)秀獎(jiǎng)學(xué)金。

陳麟有多傳奇，可以從別人的「口中」感受一二。

在知乎有個(gè)問題，「中國真正一流的學(xué)生是什么樣子」？一位名為楊世奇的答主是這么說的。

陳麟水平大概是北大老師會直接把他的卷子當(dāng)做100來判，然后看其他學(xué)生得了他多少百分比分?jǐn)?shù)來打分的存在（北大李教授親述）。

他在幾何朗蘭茲綱領(lǐng)及幾何表示論領(lǐng)域做出創(chuàng)新性的重要貢獻(xiàn)，甚至有人2022年預(yù)測他能在2030年獲得菲爾茲獎(jiǎng)。

那會還沒有消息說陳麟會參加幾何朗蘭茲的證明。

在陳麟的個(gè)人介紹主頁中，可以看到對于幾何朗蘭茲的證明放在了最顯眼的位置。

如果你對幾何朗蘭茲感興趣，陳麟在2023年秋季還開設(shè)了這門課程。

感興趣的小伙伴可以去學(xué)習(xí)一下。

讓我們簡單看下第一節(jié)介紹，感受一下數(shù)學(xué)的「魅力」。