「千禧年七大數(shù)學(xué)難題」之一——黎曼猜想（Riemann hypothesis，RH）取得了顯著突破，數(shù)學(xué)家們距離摘取「猜想界的皇冠」又近了一步！

MIT對(duì)黎曼猜想的潛在例外情況，提出了更加嚴(yán)格的限制，此舉直接打破了80多年的紀(jì)錄。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2405.20552

如今，黎曼猜想依舊是數(shù)學(xué)中最重要的未解之謎之一。如果能夠證明它，數(shù)學(xué)家將對(duì)素?cái)?shù)的分布有更深刻的理解，

并且，很多數(shù)論和復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域的工作都基于黎曼猜想為真這個(gè)前提，因此一旦證明了黎曼猜想，許多其他工作也會(huì)得到完整的證明。

解決黎曼猜想的人，將會(huì)獲得克雷數(shù)學(xué)研究所提供的100萬(wàn)美元獎(jiǎng)勵(lì)。

目前，對(duì)于如何證明黎曼猜想，數(shù)學(xué)家們還無(wú)從下手，不過(guò)他們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^(guò)證明可能的例外數(shù)量有限，來(lái)獲得有用的結(jié)果。

在今年5月，Maynard和MIT的Larry Guth確定了一種特定類型例外數(shù)量的新上限，打破了此前80多年的紀(jì)錄。

憑借新的證明，他們得到了數(shù)軸上短區(qū)間內(nèi)素?cái)?shù)數(shù)量的一個(gè)更好的近似值，并且有望提供更多關(guān)于素?cái)?shù)行文的見(jiàn)解。

離完全解決黎曼猜想還遠(yuǎn)，但仍然是歷史性的時(shí)刻

羅格斯大學(xué)的Henryk Iwaniec對(duì)此評(píng)論道：「這是一個(gè)轟動(dòng)性的結(jié)果，這個(gè)過(guò)程非常非常難，但他們摘下了寶石?！?/span>

陶哲軒對(duì)這篇論文大加贊賞：

Guth和Maynard對(duì)黎曼假設(shè)有了顯著的突破，對(duì)1940年關(guān)于黎曼zeta函數(shù)零點(diǎn)的經(jīng)典Ingham界限進(jìn)行了第一次實(shí)質(zhì)性改進(jìn)（更廣泛地說(shuō)，控制各種狄利克雷級(jí)數(shù)的大值）。

他認(rèn)為這是歷史性的時(shí)刻，「在黎曼猜想存在之后的八十年里，對(duì)這一約束的唯一推動(dòng)就是對(duì)??(1)誤差的微小改進(jìn)」。

盡管他也承認(rèn)，「離完全解決這個(gè)猜想還很遠(yuǎn)」。

要知道，早在2008年，美國(guó)楊百翰大學(xué)的數(shù)學(xué)家Xian-Jin Li也曾在arxiv上發(fā)表過(guò)一篇論文，宣稱證明了黎曼猜想。后被陶哲軒和法國(guó)數(shù)學(xué)家Alain Connes（均為菲爾茲獎(jiǎng)得主）無(wú)情地指出了Li證明過(guò)程中的錯(cuò)誤。

那么，這次Guth和Maynard的研究能得到陶哲軒的轉(zhuǎn)發(fā)，可見(jiàn)其意義非凡了。

巧妙的迂回

黎曼猜想涉及數(shù)論中的一個(gè)核心公式——黎曼ζ函數(shù)。ζ函數(shù)是簡(jiǎn)單求和的推廣形式：

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ?

這個(gè)級(jí)數(shù)隨著項(xiàng)數(shù)的增加會(huì)變得無(wú)限大，這個(gè)過(guò)程被數(shù)學(xué)家稱之為「發(fā)散」。但如果改為求和：

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ? = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ?

我們就會(huì)得到π^2/6，大約等于1.64。

而黎曼做出了一個(gè)出人意料的偉大構(gòu)想，將這樣的級(jí)數(shù)變成一個(gè)如下所示的函數(shù)：

所以 ζ(1) 是無(wú)窮大，但 ζ(2) = π^2/6。

當(dāng)我們將s設(shè)為一個(gè)復(fù)數(shù)時(shí)，事情變得非常有趣。

復(fù)數(shù)有兩個(gè)部分：「實(shí)部」，即日常生活中的數(shù)字，以及「虛部」，即日常數(shù)字乘以-1的平方根（數(shù)學(xué)家將其記作i）。

復(fù)數(shù)可以在平面上繪制，實(shí)部在x軸上，虛部在y軸上。例如，3 + 4i。

ζ函數(shù)以復(fù)平面上的點(diǎn)作為輸入，并輸出其他復(fù)數(shù)。

事實(shí)證明，對(duì)于某些復(fù)數(shù)，ζ函數(shù)的值為零。確定這些零點(diǎn)在復(fù)平面上的具體位置，是數(shù)學(xué)中最有趣的問(wèn)題之一。

1859年，黎曼猜測(cè)：所有的零點(diǎn)都集中在兩條線上。如果我們擴(kuò)展ζ函數(shù)，使其可以處理負(fù)數(shù)輸入，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)于所有負(fù)偶數(shù)：-2, -4, -6等等，ζ函數(shù)的值為零。

這相對(duì)容易證明，因此這些被稱為平凡零點(diǎn)。

當(dāng)s的實(shí)部小于1時(shí)，整個(gè)級(jí)數(shù)和可能會(huì)發(fā)散。為了讓函數(shù)適用于更廣的范圍，黎曼把上面的ζ函數(shù)改寫成以上形式

Riemann猜測(cè)該函數(shù)的所有其他零點(diǎn)（也即非平凡零點(diǎn)）的實(shí)部都為1/2，因此位于這條垂直線上。

這是黎曼猜想，證明它一直極其困難。

數(shù)學(xué)家們知道，每個(gè)非平凡零點(diǎn)的實(shí)部必須在零和1之間，但他們無(wú)法排除有些零點(diǎn)的實(shí)部可能是0.499。

他們能做的是，就是證明這樣的零點(diǎn)必須非常罕見(jiàn)。

更直觀地說(shuō)，根據(jù)ζ函數(shù)能夠畫出無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。黎曼猜測(cè)，這些點(diǎn)有一定的排列規(guī)律，一部分在一條橫線上，另一部分則在一條豎線上，所有這些點(diǎn)都在這兩條直線上排列，無(wú)一例外

在上圖中，由于有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，所以不能用枚舉法證明所有的點(diǎn)都在這兩條線上，因?yàn)橛肋h(yuǎn)也驗(yàn)證不完。但只要有一個(gè)點(diǎn)不在這兩條直線上，那就能推翻黎曼猜想。

數(shù)學(xué)家們已經(jīng)使用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證了最初的1億億個(gè)點(diǎn)，全都符合黎曼猜想的排列規(guī)律。

許多年來(lái)，許多數(shù)學(xué)家為了證明這個(gè)猜想前赴后繼，但無(wú)一人能夠捧回這個(gè)「數(shù)學(xué)界的圣杯」，甚至不乏有數(shù)學(xué)家為此而抱憾離世，將無(wú)盡的思考留給了后人。

美國(guó)數(shù)學(xué)家Hugh Montgomery甚至表示，如果有魔鬼答應(yīng)讓數(shù)學(xué)家們用自己的靈魂來(lái)?yè)Q取一個(gè)數(shù)學(xué)命題的證明，大多數(shù)學(xué)家想要換取的將會(huì)是黎曼猜想的證明。

80多年的紀(jì)錄，忽然被打破了

1940年，一位名叫Albert Ingham的英國(guó)數(shù)學(xué)家建立了一個(gè)上限，用于估計(jì)實(shí)部不等于1/2的零點(diǎn)數(shù)量，這個(gè)上限，至今仍被數(shù)學(xué)家們用作參考點(diǎn)。

幾十年后，在1960年代和70年代，其他數(shù)學(xué)家找到了將Ingham的結(jié)果轉(zhuǎn)換為關(guān)于素?cái)?shù)在數(shù)軸上如何聚集或分散，以及它們可能形成的其他模式的描述方法。

大約在同一時(shí)間，數(shù)學(xué)家們還引入了新的技術(shù)，改進(jìn)了Ingham對(duì)實(shí)部大于3/4的零點(diǎn)的上限。

但事實(shí)證明，最重要的零點(diǎn)，就是那些實(shí)部正好為3/4的零點(diǎn)。

「許多關(guān)于素?cái)?shù)的重要結(jié)果，都受限于我們對(duì)實(shí)部為3/4的零點(diǎn)的理解，」Maynard說(shuō)。

James Maynard是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的杰出學(xué)者，曾于2022年獲得菲爾茲獎(jiǎng)。

他本科畢業(yè)于劍橋大學(xué)，博士畢業(yè)于牛津大學(xué)，從2018年起任教于牛津大學(xué)數(shù)學(xué)研究所。

大約十年前，Maynard就開(kāi)始思考，如何改進(jìn)Ingham對(duì)這些特定零點(diǎn)的估計(jì)?！高@是我在解析數(shù)論中最喜歡的問(wèn)題之一?？傆X(jué)得只要再努力一點(diǎn)，就能取得進(jìn)展。」

但年復(fù)一年，每當(dāng)他想要解決這個(gè)問(wèn)題，總會(huì)被卡住。

然后，在2020年初，在飛往科羅拉多參加會(huì)議的飛機(jī)上，他突然有了一個(gè)想法——或許調(diào)和分析中的工具可能會(huì)有用。

巧的是，MIT的一位調(diào)和分析專家Larry Guth，恰好也參加了同一個(gè)會(huì)議。

碰巧在思考類似問(wèn)題的兩個(gè)人，就這樣相遇了。

不過(guò)，Guth對(duì)解析數(shù)論完全不熟悉。在午餐時(shí)間，Maynard向他解釋了數(shù)論方面的內(nèi)容，還給了他一個(gè)具體的測(cè)試案例。

斷斷續(xù)續(xù)研究了幾年后，Guth才意識(shí)到，他的調(diào)和分析技術(shù)行不通。

但他并沒(méi)有停止思考這個(gè)問(wèn)題，而是嘗試了新的方法。

今年二月份，他再次聯(lián)系了Maynard。結(jié)合不同的視角，兩人開(kāi)始認(rèn)真合作。

幾個(gè)月后，他們得出了結(jié)果。

數(shù)學(xué)中的「棄子」

Guth和Maynard首先將他們想要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成另一種形式。

如果某個(gè)零點(diǎn)的實(shí)部不是1/2，那么被稱為狄利克雷多項(xiàng)式的相關(guān)函數(shù)，必須產(chǎn)生一個(gè)非常大的值。

因此，證明黎曼猜想的例外很少等同于證明狄利克雷多項(xiàng)式不會(huì)經(jīng)常產(chǎn)生很大的值。

然后，數(shù)學(xué)家們進(jìn)行了另一種轉(zhuǎn)換。

首先，他們使用狄利克雷多項(xiàng)式構(gòu)建了一個(gè)矩陣，或者說(shuō)一個(gè)數(shù)字表。

「數(shù)學(xué)家們喜歡看到矩陣，因?yàn)榫仃囀俏覀兎浅Ａ私獾臇|西，」Guth說(shuō)。「你要學(xué)會(huì)保持敏銳的嗅覺(jué)，準(zhǔn)備好看到矩陣無(wú)處不在?！?/span>

矩陣可以「作用于」一個(gè)叫做向量的數(shù)學(xué)對(duì)象，向量由長(zhǎng)度和方向定義，從而產(chǎn)生另一個(gè)向量。

通常情況下，當(dāng)矩陣作用于向量時(shí)，會(huì)改變向量的長(zhǎng)度和方向。

有時(shí)會(huì)有一些特殊的向量，當(dāng)它們經(jīng)過(guò)矩陣時(shí)，只改變長(zhǎng)度而不改變方向。這些向量稱為特征向量。

數(shù)學(xué)家們用稱為特征值的數(shù)字，來(lái)衡量這些變化的大小。

Guth和Maynard重新表述了他們的問(wèn)題，使其變成了關(guān)于矩陣最大特征值的問(wèn)題。

如果他們能證明最大特征值不能變得太大，他們的工作就完成了。

為此，他們使用了一個(gè)公式，得到了一個(gè)復(fù)雜的總和，并尋找方法使總和中的正負(fù)值盡可能地相互抵消。

「你必須重新排列序列，或者從正確的角度看它，以看到某種對(duì)稱性，從而實(shí)現(xiàn)一些抵消，」Guth說(shuō)。

這個(gè)過(guò)程涉及幾個(gè)令人驚訝的步驟，其中一個(gè)最重要的想法，被Maynard形容為「有點(diǎn)神奇」。

在某個(gè)時(shí)刻，他們本應(yīng)采取一個(gè)看似顯而易見(jiàn)的簡(jiǎn)化步驟，來(lái)簡(jiǎn)化他們的總和。

然而他們并沒(méi)有這樣做。反之，他們把總和保留在更長(zhǎng)、更復(fù)雜的形式。

「我們做了一些乍一看完全愚蠢的事情，我們就是拒絕做標(biāo)準(zhǔn)的簡(jiǎn)化，」Maynard說(shuō)?！肝覀兎艞壛撕芏?，這意味著現(xiàn)在我們不能為這個(gè)總和得到任何簡(jiǎn)單的界限。」

但從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，這證明是一個(gè)有利的舉動(dòng)。

「在國(guó)際象棋中，這被稱之為棄子——為了在棋盤上獲得更好的位置而去犧牲一枚棋子，」Maynard說(shuō)。

而Guth將其比作玩魔方：有時(shí)你必須撤銷之前的動(dòng)作，使一切看起來(lái)更糟，然后找到一種方法，讓更多的顏色到達(dá)正確的位置。

「我們需要極大的勇氣，才能拋棄一個(gè)顯而易見(jiàn)的改進(jìn)，然后希望自己能在之后恢復(fù)它，」牛津大學(xué)的數(shù)學(xué)家、Maynard的前導(dǎo)師Roger Heath-Brown說(shuō)?！高@與我認(rèn)為應(yīng)該做的一切背道而馳。」

但這位導(dǎo)師承認(rèn)，這恰恰是自己卡住的地方。

Maynard說(shuō)，Guth作為一個(gè)調(diào)和分析專家而不是數(shù)論學(xué)家，使得這一策略成為可能?！杆麤](méi)有被這些固有的規(guī)則所禁錮，所以他更愿意考慮那些不合常規(guī)的事情。」

最終，他們能夠?qū)ψ畲筇卣髦翟O(shè)定一個(gè)足夠好的界限，這又進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為對(duì)黎曼猜想潛在反例數(shù)量的更精確界限。

盡管他們的工作始于啟發(fā)了Guth的調(diào)和分析思想，但他們最終卻將這些復(fù)雜技術(shù)排除在外，返璞歸真。

「現(xiàn)在看起來(lái)，這就像是我40年前可能會(huì)嘗試的事情，」Heath-Brown說(shuō)。

最終，通過(guò)給出對(duì)實(shí)部為3/4的零點(diǎn)數(shù)量的更好界限，Guth和Maynard自動(dòng)證明了一些關(guān)于素?cái)?shù)分布的結(jié)果。

例如，對(duì)于較短區(qū)間，估計(jì)在給定區(qū)間內(nèi)找到的素?cái)?shù)數(shù)量會(huì)變得不那么準(zhǔn)確。而新的工作，能使數(shù)學(xué)家們?cè)诟痰膮^(qū)間內(nèi)得到良好的估計(jì)。

數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，這個(gè)證明還可能改進(jìn)其他關(guān)于素?cái)?shù)的結(jié)論。

并且，Guth和Maynard的技術(shù)似乎還有余地進(jìn)一步改進(jìn)。

不過(guò)Maynard認(rèn)為，這些技術(shù)不是解決黎曼猜想本身的正確方法。

「它還需要來(lái)自其他地方的一些重大想法?！?/span>

陶哲軒解讀：利用解析數(shù)論意想不到的方式

對(duì)于這個(gè)「棄子」的方法，陶哲軒也給出了更專業(yè)的解讀——

如果令??(σ,??)表示實(shí)部至少為σ、虛部至多為??的黎曼zeta函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)量，黎曼猜想告訴我們，對(duì)于任何σ>1/2，??(σ,??)都會(huì)消失，當(dāng)然我們不能無(wú)條件地證明這一點(diǎn)。

但下一步，我們可以證明零密度估計(jì)，也就是??(σ,??)的非平凡上界。

事實(shí)證明，σ=3/4 是一個(gè)關(guān)鍵值。1940年，Ingham得出了一個(gè)結(jié)果——??(3/4,??)???^{3/5+??(1)}。

在接下來(lái)的八十年里，對(duì)該界限的唯一改進(jìn)是對(duì)??(1)誤差的小幅改進(jìn)。

這限制了我們?cè)诮馕鰯?shù)論中做很多事情：例如，為了在(??,??+??^??)形式的幾乎所有短區(qū)間內(nèi)得到一個(gè)好的素?cái)?shù)定理，我們長(zhǎng)期以來(lái)一直被限制在??>1/6 ，主要障礙是Ingham界限缺乏改進(jìn)。

Guth和Maynard的最新研究成功改進(jìn)了Ingham界限，從3/5=0.6降低到13/25=0.52。

這帶來(lái)了解析數(shù)論的許多相應(yīng)改進(jìn)；例如，在幾乎所有短區(qū)間內(nèi)，可以證明的素?cái)?shù)定理的范圍從??>1/6=0.166… 變?yōu)??>2/15=0.133…（如果黎曼猜想為真，將意味著我們可以覆蓋整個(gè)??>0的范圍）。

這些論證本質(zhì)上主要基于傅立葉分析。前幾步是標(biāo)準(zhǔn)步驟，許多試圖打破Ingham界限的分析數(shù)論學(xué)家都能認(rèn)出這些步驟。

但他們有許多巧妙且出乎意料的操作，比如，通過(guò)將關(guān)鍵的相位矩陣??^{????}=??^{????log???}提升到六次方來(lái)控制它（表面上看，這使問(wèn)題變得更加復(fù)雜且棘手）。

以及，拒絕使用駐相法來(lái)簡(jiǎn)化某個(gè)復(fù)雜的傅里葉積分，從而在指數(shù)上讓步，以保留一種最終證明比駐相近似更有用的因式分解形式；并根據(jù)Dirichlet級(jí)數(shù)大值出現(xiàn)的位置是否具有小、中或大的加法能量來(lái)劃分情況，并對(duì)每種情況采用稍微不同的論證方法。

在這里，隱含在Dirichlet級(jí)數(shù)中的相位函數(shù)??log???的精確形式變得非常重要；這是利用解析數(shù)論中出現(xiàn)的特殊指數(shù)和的一種意想不到的方式，而不是在調(diào)和分析中可能遇到的更一般的指數(shù)和。