困擾數(shù)學(xué)和量子力學(xué)交叉領(lǐng)域長(zhǎng)達(dá)半個(gè)世紀(jì)的難題，因?yàn)楸贝?、南開(kāi)數(shù)學(xué)家的參與，終于是有了較為完美的答案。

這個(gè)難題有個(gè)非常有趣的名字，叫做“十杯馬天尼”（The Ten Martini Problem）。

之所以叫這個(gè)名字，是因?yàn)閿?shù)學(xué)家馬克·卡茨（Mark Kac）在1981年表示，誰(shuí)能解決這個(gè)問(wèn)題，就請(qǐng)對(duì)方喝十杯馬天尼。

△圖源：QuantaMagazine

若是簡(jiǎn)單來(lái)描述，十杯馬天尼問(wèn)題是關(guān)于量子系統(tǒng)能譜結(jié)構(gòu)的一個(gè)猜想，它斷言“幾乎Mathieu算子”（Almost Mathieu operators）在所有無(wú)理數(shù)頻率下的能譜是Cantor集。

其中，“幾乎Mathieu算子”是位勢(shì)為余弦函數(shù)的特殊薛定諤算子；Cantor集，則是一種分形結(jié)構(gòu)（看起來(lái)像“塵?！?，沒(méi)有區(qū)間，只有無(wú)限分散的點(diǎn)）。

雖然在2004年至2005年期間，數(shù)學(xué)家Avila和Jitomirskaya最終給出了完整證明，即“幾乎Mathieu算子”的能譜就是Cantor集（Avila后來(lái)也因此獲得了菲爾茲獎(jiǎng)）。

但隨著兩位中國(guó)數(shù)學(xué)家（北京大學(xué)葛靈睿、南開(kāi)大學(xué)尤建功）加入Jitomirskaya的研究，他們進(jìn)一步推廣了這個(gè)結(jié)論：

不僅僅是“幾乎Mathieu算子”，在更大類(lèi)的“準(zhǔn)周期算子”（quasiperiodic operators） 下，也成立類(lèi)似的十杯馬天尼性質(zhì)，即能譜是Cantor集。

他們的工作不僅為這個(gè)經(jīng)典問(wèn)題提供了一個(gè)前所未有地優(yōu)雅、統(tǒng)一的證明，更重要的是，將結(jié)論從一個(gè)高度理想化的模型推廣到了更廣泛、更接近真實(shí)物理系統(tǒng)的場(chǎng)景中。

但要完整了解關(guān)于十杯馬天尼的故事，我們還需要追溯到1974年。

從“計(jì)算器上的蝴蝶”誕生的物理學(xué)猜想

故事的起因還要從一個(gè)叫做道格拉斯·霍夫斯塔特（Douglas Hofstadter）的人說(shuō)起。

當(dāng)時(shí)，他還只是一名在美國(guó)俄勒岡大學(xué)攻讀博士學(xué)位的物理系學(xué)生，那一年，他跟隨導(dǎo)師前往德國(guó)雷根斯堡進(jìn)行學(xué)術(shù)休假，并加入了一個(gè)由頂尖理論物理學(xué)家組成的研究小組。

（PS：五年后，他將因撰寫(xiě)《哥德?tīng)?、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成》一?shū)而榮獲普利策獎(jiǎng)，成為一位享譽(yù)世界的思想家。）

小組的核心議題是一個(gè)基礎(chǔ)而又棘手的量子問(wèn)題——

當(dāng)一個(gè)電子在規(guī)則排列的晶體（晶格）中運(yùn)動(dòng)，并且同時(shí)受到一個(gè)垂直磁場(chǎng)的作用時(shí)，它的能量會(huì)呈現(xiàn)出怎樣的分布狀態(tài)？

這個(gè)問(wèn)題在物理學(xué)上被稱(chēng)為“布洛赫電子在磁場(chǎng)中的能譜問(wèn)題”。小組的物理學(xué)家們普遍采用的是嚴(yán)謹(jǐn)而抽象的定理推演，試圖從理論上直接導(dǎo)出最終結(jié)論。

但霍夫斯塔特發(fā)覺(jué)自己很難跟上同僚們高深的數(shù)學(xué)思路，他回憶道：

從某種程度上說(shuō)，我的幸運(yùn)在于我跟不上他們。他們?cè)谧C明定理，但那些定理似乎與問(wèn)題的本質(zhì)無(wú)關(guān)。

于是，霍夫斯塔特決定另辟蹊徑，采取一種在當(dāng)時(shí)看來(lái)頗為“笨拙”的實(shí)驗(yàn)性方法：數(shù)值計(jì)算。

他找到了一臺(tái)惠普9820A臺(tái)式計(jì)算器，這是一個(gè)重達(dá)近40磅、功能介于計(jì)算器和早期計(jì)算機(jī)之間的設(shè)備。

他的計(jì)劃是，不去直接挑戰(zhàn)最困難的理論情況，而是從簡(jiǎn)化的問(wèn)題入手，通過(guò)大量的計(jì)算來(lái)“看見(jiàn)”答案。

描述這一物理系統(tǒng)的核心工具是量子力學(xué)的基石——薛定諤方程。

在這個(gè)特定問(wèn)題中，方程解出的“能譜”，即電子被允許擁有的能量值的集合，其形態(tài)由一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)α決定。這個(gè)參數(shù)α正比于磁場(chǎng)強(qiáng)度與晶格單位面積的乘積，它捕捉了外部磁場(chǎng)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)影響的本質(zhì)。

理論上，當(dāng)α是一個(gè)有理數(shù)時(shí)，系統(tǒng)具有周期性，雖然計(jì)算繁瑣，但原則上是可解的；然而，當(dāng)α是一個(gè)無(wú)理數(shù)時(shí)，系統(tǒng)不再具有簡(jiǎn)單的周期性，變成所謂的“準(zhǔn)周期”系統(tǒng)，其求解在當(dāng)時(shí)是一個(gè)巨大的理論障礙。

霍夫斯塔特沒(méi)有像同事們那樣一頭扎進(jìn)無(wú)理數(shù)的理論困境中。他選擇從已知的有理數(shù)情況出發(fā)。他將計(jì)算器編程，讓它自動(dòng)計(jì)算出一系列有理數(shù)α值所對(duì)應(yīng)的能譜。

每天晚上，他設(shè)定好一個(gè)α值，然后讓計(jì)算器徹夜工作；第二天清晨，他會(huì)看到一卷長(zhǎng)長(zhǎng)的紙帶從機(jī)器中伸出，上面打印著該α值下所有允許的能量值的位置。

△圖源：QuantaMagazine

他將這些數(shù)據(jù)點(diǎn)費(fèi)盡心思地用筆繪制在了一張巨大的坐標(biāo)紙上。這張圖的橫軸代表電子的能量，縱軸代表參數(shù)α；每一個(gè)α值對(duì)應(yīng)圖上的一條水平線(xiàn)，線(xiàn)上被標(biāo)記出的點(diǎn)，就是電子在該磁場(chǎng)強(qiáng)度下可以存在的能級(jí)。

隨著他繪制的有理數(shù)α越來(lái)越密集，一個(gè)令人嘆為觀止的圖形逐漸浮現(xiàn)。

在那些被允許的能級(jí)（黑點(diǎn)）之間，存在著大片的“禁帶”（空白區(qū)域），而這些空白區(qū)域的形狀驚人地酷似一只展開(kāi)翅膀的蝴蝶。

更奇妙的是，這只“蝴蝶”呈現(xiàn)出清晰的分形特征：如果你放大蝴蝶翅膀的任何一小部分，會(huì)發(fā)現(xiàn)它的圖案結(jié)構(gòu)與整個(gè)蝴蝶的形態(tài)極其相似，這種自相似性可以無(wú)限延伸下去。

這張圖后來(lái)被科學(xué)界親切地稱(chēng)為“霍夫斯塔特蝴蝶”。

△圖源：QuantaMagazine

他的同事們一開(kāi)始對(duì)這種“苦力活”不以為然，甚至他的導(dǎo)師也批評(píng)這是“數(shù)字迷信”，并揚(yáng)言要取消對(duì)他的資助。但霍夫斯塔特堅(jiān)信，這幅美麗的圖形背后隱藏著深刻的物理和數(shù)學(xué)真理。

通過(guò)觀察圖形，他提出了一個(gè)驚人的猜想。

他注意到，當(dāng)作為輸入的有理數(shù) α=p/q 的分母q越來(lái)越大，即分?jǐn)?shù)越來(lái)越復(fù)雜，越來(lái)越逼近一個(gè)無(wú)理數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的能譜帶會(huì)分裂成越來(lái)越多的子帶，中間的縫隙也越來(lái)越多。

它整體結(jié)構(gòu)在視覺(jué)上無(wú)限趨近于一個(gè)著名的數(shù)學(xué)對(duì)象——也就是我們開(kāi)頭提到的，Cantor集。

Cantor集是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)分形，可以通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的迭代過(guò)程構(gòu)造：從一條線(xiàn)段開(kāi)始，去掉其中間的三分之一，剩下兩條較短的線(xiàn)段；然后，再分別去掉這兩條線(xiàn)段各自中間的三分之一；如此無(wú)限重復(fù)下去。

最終剩下的將不再是任何線(xiàn)段，而是一組無(wú)窮多個(gè)離散的點(diǎn)，像塵埃一樣分布在原來(lái)的線(xiàn)段上。

△圖源：QuantaMagazine

霍夫斯塔特由此推斷：當(dāng)參數(shù)α是真正的無(wú)理數(shù)時(shí)，電子的能譜將不再是連續(xù)的能帶，而是一個(gè)完美的、具有無(wú)限精細(xì)結(jié)構(gòu)的Cantor集。

用“十杯馬天尼”來(lái)懸賞

霍夫斯塔特的猜想如同一顆投入平靜湖面的石子，在數(shù)學(xué)物理學(xué)界激起了層層漣漪。

幾年后，兩位杰出的數(shù)學(xué)家馬克·卡茨（Mark Kac）和巴里·西蒙（Barry Simon）在研究一類(lèi)被稱(chēng)為“概周期函數(shù)”的數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，獨(dú)立地從純數(shù)學(xué)的角度得出了與霍夫斯塔特完全相同的結(jié)論。

這就讓猜想的可信度大大增加，但嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明仍然遙不可及。問(wèn)題的難度之大，卻激發(fā)了卡茨的幽默感。

在1981年的一次美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)年會(huì)上，他半開(kāi)玩笑地公開(kāi)宣布，愿意為任何能夠嚴(yán)格證明此猜想的人獻(xiàn)上十杯馬天尼。

西蒙隨后在各種學(xué)術(shù)場(chǎng)合推廣了這個(gè)懸賞，使得“十杯馬天尼問(wèn)題”聲名遠(yuǎn)播，成為了衡量準(zhǔn)周期系統(tǒng)研究進(jìn)展的標(biāo)尺。

在接下來(lái)的二十多年里，一代又一代的數(shù)學(xué)家向這個(gè)難題發(fā)起沖擊。

他們不斷發(fā)展出新的數(shù)學(xué)工具，成功地證明了對(duì)于“某些”特定類(lèi)型的無(wú)理數(shù)（例如，那些可以用有理數(shù)很好近似的“劉維爾數(shù)”或性質(zhì)相反的“丟番圖數(shù)”），猜想是成立的。

然而，一個(gè)能夠覆蓋所有無(wú)理數(shù)、不留任何死角的通用證明，始終未能出現(xiàn)。

△圖源：QuantaMagazine

直到2005年，僵局終于被打破。

數(shù)學(xué)家Svetlana Jitomirskaya與當(dāng)時(shí)年僅24歲的天才數(shù)學(xué)家Artur Avila合作，發(fā)表了一篇里程碑式的論文，宣告“十杯馬天尼問(wèn)題”已經(jīng)被解決了。

他們自己也愉快地兌現(xiàn)了那十杯馬天尼的承諾，舉杯慶祝這一重大勝利。

然而，這個(gè)證明在慶祝的香檳氣泡散去后，卻顯露出其內(nèi)在的“不完美”。它更像是一個(gè)“拼湊的被子”（a patchwork quilt），而非一件渾然天成的藝術(shù)品。

因?yàn)樗麄兊淖C明為了覆蓋所有無(wú)理數(shù)，依賴(lài)了多種截然不同的、甚至有時(shí)是相互矛盾的技術(shù)手段：對(duì)于性質(zhì)“溫和”的丟番圖數(shù)，他們采用一套分析方法；而對(duì)于性質(zhì)“狂野”的劉維爾數(shù)，則不得不求助于另一套截然不同的代數(shù)工具。

這就讓整個(gè)證明過(guò)程顯得復(fù)雜而缺乏內(nèi)在的統(tǒng)一美感。

△Svetlana Jitomirskaya

更關(guān)鍵的是，這個(gè)證明存在一個(gè)根本性的局限：它嚴(yán)重依賴(lài)于霍夫斯塔特最初研究的那個(gè)模型的特殊對(duì)稱(chēng)性，即所謂的“幾乎Mathieu算子”（Almost Mathieu Operator）。

這個(gè)模型是一個(gè)高度理想化的數(shù)學(xué)對(duì)象，就像幾何學(xué)中的完美圓形。

但在現(xiàn)實(shí)世界中，物理系統(tǒng)遠(yuǎn)比這復(fù)雜：晶格可能存在缺陷，磁場(chǎng)也并非絕對(duì)均勻。當(dāng)人們?cè)噲D將這個(gè)證明推廣到更貼近現(xiàn)實(shí)、對(duì)稱(chēng)性被破壞的模型時(shí)，整個(gè)證明框架便轟然倒塌。

這讓數(shù)學(xué)家們陷入了新的困惑。難道“霍夫斯塔特蝴蝶”和Cantor集只是在那個(gè)完美數(shù)學(xué)模型中才存在的巧合嗎？

但戲劇性的一幕發(fā)生了，物理學(xué)的進(jìn)展再次推動(dòng)了數(shù)學(xué)的思考。

2013年，哥倫比亞大學(xué)的物理學(xué)家們利用兩層石墨烯材料，在強(qiáng)磁場(chǎng)下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，竟然在實(shí)驗(yàn)室中清晰地觀測(cè)到了“霍夫斯塔特蝴蝶”的能譜結(jié)構(gòu)！

這一發(fā)現(xiàn)震撼了學(xué)界，它雄辯地證明了這種奇特的分形結(jié)構(gòu)并非數(shù)學(xué)家的空中樓閣，而是一種普遍存在的、穩(wěn)健的物理現(xiàn)象。

Jitomirskaya坦言：“這突然讓問(wèn)題從數(shù)學(xué)家的想象變成了實(shí)際的東西，這變得非常令人不安?！?/span>

物理現(xiàn)實(shí)迫切需要一個(gè)更強(qiáng)大、更具普適性的數(shù)學(xué)理論來(lái)給予解釋。

中國(guó)數(shù)學(xué)家破局了

2019年，中國(guó)數(shù)學(xué)家葛靈睿加入到Jitomirskaya的團(tuán)隊(duì)，與南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)教授尤建功一起改進(jìn)Avila的理論。

△葛靈睿（左）和尤建功（右）

這一次，他們不再只盯著“幾乎Mathieu算子”，而是定義了一類(lèi)更廣泛的Type I算子（I型），這些Type I算子是通過(guò)T-加速度界定的。

首先，數(shù)學(xué)家們給Lyapunov指數(shù)（描述準(zhǔn)周期算子對(duì)應(yīng)“解的增長(zhǎng)/衰減速度”的物理量）加了一個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)，這個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)會(huì)引起Lyapunov指數(shù)數(shù)值的變化，每段變化之間會(huì)有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

而T-加速度就可以簡(jiǎn)單理解成Lyapunov指數(shù)在第一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)附近的變化速度。具體定義如下：

而對(duì)于某個(gè)能量E，如果它對(duì)應(yīng)的T-加速度等于1，那么就說(shuō)這個(gè)E是Type I能量。對(duì)整個(gè)Mathieu算子來(lái)說(shuō)，如果算子里所有能量E的T-加速度都等于1，那這個(gè)算子就是Type I算子。

葛靈睿、尤建功團(tuán)隊(duì)證明的核心結(jié)論就是：只要是Type I算子，無(wú)論頻率是哪個(gè)無(wú)理數(shù)，它的頻譜一定是Cantor集。

證明的關(guān)鍵思路是利用對(duì)偶性和統(tǒng)一方法，具體表現(xiàn)在：

• 利用目標(biāo)算子的對(duì)偶算子反推原算子的頻譜性質(zhì)，降低證明的困難性；
• 還要實(shí)現(xiàn)能夠用穩(wěn)定的統(tǒng)一方法來(lái)完成對(duì)這一類(lèi)算子的證明。

為了證明Type I算子的頻譜是Cantor集，團(tuán)隊(duì)還開(kāi)發(fā)了3個(gè)可獨(dú)立使用的數(shù)學(xué)工具：

1. 將只適用于所有Lyapunov指數(shù)都為0情況下的Kotani理論，擴(kuò)展到部分Lyapunov指數(shù)為0，部分為正的情況；
2. 證明了PH2算子（Type I算子的對(duì)偶算子就是PH2算子）的點(diǎn)譜是簡(jiǎn)單的：即每個(gè)特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的解；
3. 將幾乎Mathieu算子證明過(guò)程中用到的，只適用于丟番圖頻率的Puig論證擴(kuò)展到全頻率適用。

過(guò)去，在不同無(wú)理數(shù)頻率下證明該問(wèn)題要用不同的方法，這次，他們通過(guò)Type I算子和3個(gè)工具搞出了一套統(tǒng)一的證明方法，直接將之前Avila對(duì)于不同算子、特例算子的拼湊證明擴(kuò)展到了一大類(lèi)算子的單一證明上。

并且，Type I這類(lèi)算子包含了幾乎Mathieu算子的微小變形、超臨界廣義Harper模型等，困擾數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家半世紀(jì)之久的十杯馬天尼問(wèn)題由此跨越了極大的一步。

△圖源：QuantaMagazine

除了十杯馬天尼核心問(wèn)題之外，團(tuán)隊(duì)還有一些額外貢獻(xiàn)。

首先，他們證明了十杯馬天尼問(wèn)題的穩(wěn)定性，即如果一個(gè)Type I算子滿(mǎn)足任意無(wú)理數(shù)頻率下的頻譜都是Cantor集，那么該算子附近的微小變形算子也滿(mǎn)足，這這種穩(wěn)定性對(duì)實(shí)際應(yīng)用有著重要意義。

其次，這項(xiàng)工作還推進(jìn)了干燥十杯馬天尼問(wèn)題，這是比原問(wèn)題條件更嚴(yán)格的要求：需要頻譜的間隙不能閉合，全是開(kāi)放的。目前團(tuán)隊(duì)證明了幾乎Mathieu算子在某些條件下滿(mǎn)足該條件，為后續(xù)研究打下了基礎(chǔ)。

這些結(jié)果說(shuō)明霍夫斯塔特蝴蝶并不是巧合，也證明了數(shù)論在物理學(xué)研究中有著重要作用。研究團(tuán)隊(duì)表示：

我們預(yù)測(cè)，這只是我們用新方法所能解決的問(wèn)題的起點(diǎn)。

這項(xiàng)工作的核心貢獻(xiàn)者葛靈睿也說(shuō)：

我們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)奧秘就像黑夜里的燈塔，指引我們走向正確的方向。

One More Thing

有意思的是，這項(xiàng)突破背后的兩位中國(guó)數(shù)學(xué)家是師徒關(guān)系，雖然現(xiàn)在一個(gè)在南開(kāi)，一個(gè)在北大，但淵源伏筆卻在南京大學(xué)。

尤建功教授現(xiàn)在任職南開(kāi)大學(xué)陳省身數(shù)學(xué)研究所，研究方向聚焦于動(dòng)力系統(tǒng)。但實(shí)際上從1991年起，尤教授都在南京大學(xué)任職，直到2016年加盟南開(kāi)陳省身數(shù)學(xué)研究所。

另一位數(shù)學(xué)家葛靈睿，本碩博均就讀于南京大學(xué)，他當(dāng)時(shí)的指導(dǎo)老師就是尤建功教授。

他本人透露過(guò)，在讀大四時(shí)，尤老師推薦他讀了一本遍歷薛定諤算子譜理論的入門(mén)書(shū)。也正是這個(gè)機(jī)緣巧合，促使本在糾結(jié)研究方向的葛靈睿毫不猶豫地選擇了動(dòng)力系統(tǒng)中算子譜理論與數(shù)學(xué)物理的交叉領(lǐng)域。

2022年，葛靈睿加盟北京大學(xué)獨(dú)立設(shè)置的北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心，現(xiàn)任助理教授。而且他到北大后，就明確表示希望能在北大開(kāi)設(shè)遍歷薛定諤算子譜理論這門(mén)課程，吸引更多的年輕人投入到這個(gè)領(lǐng)域的研究中。

真是學(xué)無(wú)南北，窮盡西東～