生活中處處充滿(mǎn)數(shù)學(xué)，比如在經(jīng)典美劇《老友記》中，羅斯要搬家，卻在和瑞秋抬沙發(fā)上樓梯扶手時(shí)翻了車(chē)。這涉及了數(shù)學(xué)領(lǐng)域一個(gè)著名的未解決難題 —— 移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題（the moving sofa problem）。

來(lái)源：《老友記 S05E16》

該問(wèn)題是由加拿大數(shù)學(xué)家 Leo Moser 于 1966 年正式提出：在寬度為 1 的 L 形平面走廊中，能夠通過(guò)一個(gè)直角轉(zhuǎn)彎的「沙發(fā)」的最大面積是多少？

1968 年，數(shù)學(xué)家 John Michael Hammersley 提出了一種簡(jiǎn)單的解法。他將沙發(fā)設(shè)計(jì)成類(lèi)似于一個(gè)電話(huà)聽(tīng)筒的形狀，由兩個(gè)四分之一圓和一個(gè)中間的矩形塊組成，中間的矩形塊中挖去了一個(gè)半圓形，從而得出的沙發(fā)最大面積為 2.2074。

但遺憾的是，這并不是最優(yōu)解。

1992 年，美國(guó)數(shù)學(xué)家 Gerver 在 Hammersley 沙發(fā)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，算出的最大沙發(fā)面積為 2.2195，雖然比 Hammersley 沙發(fā)面積略大一些，但在方法上卻聰明得多。

Gerver 沙發(fā)由 18 條不同的曲線(xiàn)段組成，其中包括圓弧、圓的漸開(kāi)線(xiàn)以及圓的漸開(kāi)線(xiàn)的漸開(kāi)線(xiàn)等多種曲線(xiàn)。每條曲線(xiàn)段都由一個(gè)單獨(dú)的解析表達(dá)式描述，這使得 Gerver 沙發(fā)在數(shù)學(xué)上非常復(fù)雜。

Gerver 推測(cè)他的解決方案是最優(yōu)的，但他無(wú)法證明他的沙發(fā)是唯一一個(gè)（并且是最大面積的）滿(mǎn)足這個(gè)強(qiáng)條件的沙發(fā)。

2024 年 12 月 2 日，韓國(guó)學(xué)者 Jineon Baek 發(fā)表了一篇新論文，聲稱(chēng)證明了 Gerver 確實(shí)是正確的 —— 他的沙發(fā)是最優(yōu)的。這項(xiàng)研究在社交媒體（如 x）上的熱度非常高，引起了很多人的關(guān)注。

圖源：x@Scientific_Bird

圖源：x@morallawwithin

不過(guò)，Jineon Baek 的證明論文足足有 119 頁(yè)，題目為《Optimality of Gerver’s Sofa》。相關(guān)專(zhuān)家驗(yàn)證證明的正確性還需要一些時(shí)間。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826

這道困擾人類(lèi) 58 年的數(shù)學(xué)難題終于有了答案，不少網(wǎng)友也發(fā)表了自己的看法。

「我甚至不是數(shù)學(xué)家，自從 20 年前聽(tīng)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題后，我就一直在思考它。每次我需要把東西通過(guò)門(mén)時(shí)，我都會(huì)想到這個(gè)問(wèn)題?！?/span>

「我沒(méi)想到這個(gè)形狀會(huì)是最優(yōu)的，這 18 個(gè)部分看起來(lái)不夠優(yōu)雅?！?/span>

證明過(guò)程簡(jiǎn)述

論文共分 8 章，目錄如下：

摘要只有一句話(huà)，「通過(guò)證明具有 18 個(gè)曲線(xiàn)段的 Gerver 沙發(fā)的確達(dá)到了最大面積 2.2195，進(jìn)而解決了移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題」。

下圖為 Gerver 的沙發(fā) G?？潭缺硎緲?gòu)成 G 邊界的 18 條解析曲線(xiàn)和線(xiàn)段的端點(diǎn)，包含 G 的支撐走廊 L_t 在右側(cè)以灰色表示。

在證明 Gerver 的沙發(fā) G 達(dá)到最大面積的過(guò)程中，作者除了在科學(xué)計(jì)算器上進(jìn)行數(shù)值計(jì)算之外，沒(méi)有使用任何的計(jì)算機(jī)輔助。下圖 1.3 為從走廊（頂部）和沙發(fā)（底部）視角來(lái)看移動(dòng)沙發(fā)的移動(dòng)。

下面為作者要證明的定理 1.1.1。

這個(gè)問(wèn)題之所以很難，是因?yàn)闆](méi)有一個(gè)通用的公式可以計(jì)算所有可能的移動(dòng)沙發(fā)面積。因此，為了解決這個(gè)問(wèn)題，作者證明了最大面積的移動(dòng)沙發(fā) S_max 的一個(gè)屬性，被稱(chēng)為可注入性條件（injectivity condition）。

對(duì)于每個(gè)滿(mǎn)足條件的移動(dòng)沙發(fā) S，作者將定義一個(gè)更大的形狀 R，它類(lèi)似于 Gerver 沙發(fā)的形狀（下圖 1.2）。那么 R 的面積 Q (S) 就是 S 面積的上限，如果是 Gerver 沙發(fā) G，則 Q (S) 與 S 的精確面積相匹配。S 的可注入性條件確保區(qū)域 R 的邊界形成 Jordan 曲線(xiàn)，從而能夠使用格林定理計(jì)算 Q (S)。

然后，移動(dòng)沙發(fā) S 面積的上界 Q (S) 相對(duì)于 S 的最大值如下所示：作者使用 Brunn-Minkowski 理論將 Q 表示為凸體元組 (K,B,D) 空間 L 上的二次函數(shù)（上圖 1.2），并使用 Mamikon 定理建立 Q 在 L 上的全局凹性（下圖 1.13）。

作者使用加州大學(xué)戴維斯分校數(shù)學(xué)系教授 Dan Romik [Rom18] 關(guān)于 Gerver 沙發(fā) G 的局部最優(yōu)方程，來(lái)證明 S = G 局部最大化 Q (S)。由于 Q 是凹的，因此 G 也全局最大化 Q。并且，由于上界 Q 與 G 處的面積相匹配，因此沙發(fā) G 也全局最大化了面積，從而證明定理 1.1.1。

具體來(lái)講，定理 1.1.1 的完整證明分為以下三個(gè)主要步驟：

• 步驟 1 ：限制最大面積移動(dòng)沙發(fā) S_max 的可能形狀；
• 步驟 2 ：建立 S_max 的可注入性條件；
• 步驟 3 ：構(gòu)建滿(mǎn)足可注入性條件的移動(dòng)沙發(fā) S 面積的上界 Q (S)，并最大化關(guān)于 S 的 Q (S)。

作者提供了步驟 1、2、3 的更細(xì)分步驟。

其中步驟 1-(a) 將 S_max 的可能形狀縮小為單調(diào)沙發(fā)（monotone sofa），即由支撐走廊內(nèi)角雕刻出的凹痕的凸體（下圖 1.4）。

步驟 1-(b) 重新證明了 Gerver 的一個(gè)重要局部最優(yōu)條件，即 S_max 的邊長(zhǎng)應(yīng)該相互平衡（定理 1.3.1）。

由于 Gerver 的原始證明存在邏輯漏洞，沒(méi)有解決移動(dòng)沙發(fā)的連通性問(wèn)題，因此作者引入了新的想法并重新進(jìn)行了證明。步驟 1-(c) 使用前面的步驟和基本幾何來(lái)表明 S_max 在移動(dòng)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)了整整一個(gè)直角。

步驟 2 證明了 S_max 上的可注入性條件，這是之后建立上限 Q 的關(guān)鍵。它表明 L 內(nèi)角 (0,0) 的軌跡在移動(dòng)沙發(fā)的視角（參考系）中不會(huì)形成自環(huán)（下圖 1.9）。

為了證明 S_max 的這一條件，作者在 S_max 上建立了一個(gè)新的微分不等式（等式 (1.9)。該不等式受到了 Romik 的一個(gè) ODE 的啟發(fā)，該 ODE 平衡了 Gerver 沙發(fā)的微分邊（等式 (1.8)）。

步驟 3-(a) 將所有移動(dòng)沙發(fā)的空間 S 擴(kuò)展為具有單射條件的凸體元組 (K,B,D) 的集合 L，使得每個(gè) S 一一映射到 (K,B,D) ∈ L（但不一定到 L）。該凸體描述了包圍 S 的區(qū)域 R 的不同部分（上圖 1.2）。

步驟 3-(b) 定義了擴(kuò)展域 L 上的上界 Q。作者遵循 R 的邊界，并使用格林定理和 Brunn-Minkowski 理論中關(guān)于 K、B 和 D 的二次面積表達(dá)式來(lái)表示其面積 Q。同時(shí)使用單射條件和 Jordan 曲線(xiàn)定理嚴(yán)格證明 Q (K,B,D) 是 S 面積的上界。

步驟 3-(c) 使用 Mamikon 定理確定 Q 在 L 上的凹度（上圖 1.13）。步驟 3-(d) 計(jì)算由 Gerver 沙發(fā) G 產(chǎn)生的凸體 (K,B,D) ∈ L 處 Q 的方向?qū)?shù)。Romik [Rom18] 在 G 上的局部最優(yōu) ODE 用于表明方向?qū)?shù)始終為非正值。這意味著 G 是 Q 在 L 中的局部最優(yōu)值。Q 在 L 上的凹度意味著 G 也是 Q 在 L 中的全局最優(yōu)值。由于 G 處 Q 的值與面積匹配，沙發(fā) G 也全局最大化了面積，最終完成定理 1.1.1 的證明。

更具體的證明細(xì)節(jié)請(qǐng)參考原論文。

作者介紹

這篇論文的作者 Jineon Baek，本科畢業(yè)于韓國(guó)浦項(xiàng)科技大學(xué)，博士期間就讀于美國(guó)密歇根大學(xué)安娜堡分?！，F(xiàn)為韓國(guó)首爾延世大學(xué)的博士后研究員，導(dǎo)師是 Joonkyung Lee。

Jineon Baek2018 年講解關(guān)于非對(duì)角線(xiàn) Erd?s-Szekeres 凸多邊形問(wèn)題視頻截圖

他主要研究興趣是組合數(shù)學(xué)和幾何學(xué)中的優(yōu)化問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題往往通過(guò)簡(jiǎn)單卻有趣的表述，能夠吸引更廣泛的受眾。

他在人工智能領(lǐng)域也發(fā)表過(guò)一些相關(guān)文章。他在醫(yī)學(xué)圖像處理、教育數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域發(fā)表了多篇會(huì)議和期刊論文，特別是在 X 射線(xiàn) CT 圖像去噪、考試分?jǐn)?shù)預(yù)測(cè)、標(biāo)準(zhǔn)化考試準(zhǔn)備推薦系統(tǒng)等方面有所貢獻(xiàn)。

查閱 Jineon Baek 發(fā)表過(guò)的文章，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這已經(jīng)不是他第一次研究移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題了。在今年 6 月他就移動(dòng)沙發(fā)的上限問(wèn)題進(jìn)行了研究。在新文章發(fā)布的 12 月 2 日當(dāng)天，arxiv 上顯示，這篇論文提交了一個(gè)更新版本（v2），之后撤回了該版本。

現(xiàn)在，不少網(wǎng)友在網(wǎng)上討論《Optimality of Gerver's Sofa》。

「非常直觀(guān)，正是大多數(shù)人會(huì)猜測(cè)的那樣。不過(guò)，我猜證明這一點(diǎn)要困難得多吧？」

「在現(xiàn)實(shí)生活中，答案取決于天花板的高度以及沙發(fā)是否帶有可傾斜的靠背。」

「對(duì)于沙發(fā)來(lái)說(shuō)，這真的是一個(gè)糟糕的設(shè)計(jì)?！?/span>

你怎么看這個(gè)移動(dòng)沙發(fā)的最優(yōu)解呢？