在概率論的發(fā)展歷史上，先后出現(xiàn)過(guò)三種定義：經(jīng)典定義、頻率定義和主觀定義。

前兩種我們?cè)谙惹拔恼轮杏刑岬?，而主觀主義指的就是今天這篇文章中要講的貝葉斯概率。

貝葉斯概率是以發(fā)明人的名字命名的。貝葉斯本人是一名牧師，于1761年去世，但貝葉斯定理的正式提出和公開(kāi)討論是在1763年，是由貝葉斯的同事代為發(fā)表的。

提起貝葉斯概率，在基于統(tǒng)計(jì)的機(jī)器學(xué)習(xí)崛起后，它的名字可謂響當(dāng)當(dāng)。而且它在概率論三定義中出現(xiàn)又是最晚，有后發(fā)優(yōu)勢(shì)。

因此，許多同學(xué)可能會(huì)覺(jué)得貝葉斯概率真是含著金鑰匙出生、一路順風(fēng)順?biāo)奶熨n之選啊。

然而，真正了解貝葉斯概率跌宕起伏的經(jīng)歷之后，可能會(huì)發(fā)出驚嘆，算法也如人生啊，人生要經(jīng)歷的磨難算法那里一點(diǎn)也不遜色。

在本篇文章中，我們先簡(jiǎn)要一下貝葉斯概率的公式，然后列舉一個(gè)典型的通過(guò)貝葉斯概率來(lái)解決的郵件分類案例。

接下來(lái)，我們?cè)賮?lái)看一下歷史上貝葉斯概率所經(jīng)歷的從悲劇到喜劇的坎坷歷程，以及探討背后的深層次原因。

最后，我們將探討一下貝葉斯概率在AI中的廣泛應(yīng)用。

1.貝葉斯概率公式

我們先看一下貝葉斯概率的公式：

這個(gè)公式中包含4項(xiàng)，下面分別說(shuō)明一下：

先驗(yàn)概率P(A)

主觀概率，指的是基于人們主觀判斷和信念而得出的關(guān)于某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的估計(jì)值。

值得一提的是，貝葉斯概率最開(kāi)始的悲慘命運(yùn)，其實(shí)主要與P（A）體現(xiàn)出來(lái)的主觀有關(guān)系。

后驗(yàn)概率P(A|B)

后驗(yàn)概率是在觀察到某些證據(jù)或數(shù)據(jù)后，對(duì)某一事件發(fā)生概率的重新評(píng)估。

似然函數(shù)P(B|A)

似然函數(shù)確切來(lái)說(shuō)不是概率，因?yàn)槭歉鶕?jù)已經(jīng)發(fā)生的結(jié)果數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算。

全（邊緣）概率P(B)

全概率公式提供了一種方法，將一個(gè)復(fù)雜事件的總概率分解為若干個(gè)更簡(jiǎn)單事件的概率的加權(quán)和。

似乎每一個(gè)都很難懂的樣子！先驗(yàn)概率p(A)反而是看著最容易容易的一個(gè)。

后驗(yàn)概率P(A|B)和似然函數(shù)P(B|A)其實(shí)都是條件概率，只是在貝葉斯中所處的位置和作用不同，因此在概念上區(qū)分開(kāi)。

條件概率是指一個(gè)事件在另一個(gè)事件已經(jīng)發(fā)生的條件下發(fā)生的概率。以P(A|B)為例，它表示“在B發(fā)生的情況下A發(fā)生的概率”。

以下面幾何圖形為例，條件概率計(jì)算時(shí)，將得到的部分再次設(shè)定為整體，并排除掉沒(méi)有可能性的各個(gè)事件之后，重新計(jì)算出的比率，如下所示。

最后，再來(lái)看一下全概率或邊緣概率，如下幾何圖形所示。將樣本空間B分解為一系列互不相交的事件，并計(jì)算這些事件發(fā)生的概率之和等于1，計(jì)算公式如下。

P(B) = P(A1)*P(B|A1) + P(A2)*P(B|A2) + P(A3)*P(B|A3)

在現(xiàn)實(shí)中，全概率往往是最難求解的一項(xiàng)，因?yàn)榇偈箻颖究臻g分解的因素往往列不全。

2.垃圾郵件過(guò)濾的典型案例

看完上面的數(shù)學(xué)公式部分之后，相信許多同學(xué)記不住。這不能怪你們自己，純粹的抽象數(shù)學(xué)公式就是比較反人性的。

有兩種方式可以幫忙大家更好地理解貝葉斯概率。一是了解貝葉斯概率的背景和真正目的；另一個(gè)是通過(guò)具體案例。

先來(lái)說(shuō)第一個(gè)。貝葉斯當(dāng)時(shí)為什么要提出這種概率出來(lái)呢？他想要解決的問(wèn)題是什么呢？

實(shí)際上，貝葉斯的目的很明確，他想要解決的是逆概率問(wèn)題。

下面是當(dāng)時(shí)他要求解的問(wèn)題：“想象一張桌子，上面均勻隨機(jī)地放著一個(gè)白球，而貝葉斯本人背向桌子，對(duì)白球位置一無(wú)所知。然后，貝葉斯必須從白球位置引出的結(jié)果出發(fā)，判斷這個(gè)位置，或者至少給出對(duì)應(yīng)的可能性”。

當(dāng)然，貝葉斯這個(gè)例子不好理解，后面在拉普拉斯那篇文章中，將給出一個(gè)更直觀的例子。

然而，既然我們知道貝葉斯概率是希望求解逆概率問(wèn)題。那么，我們可以將上面的數(shù)學(xué)公式替換一下，這樣能幫助大家更好的理解。

相當(dāng)于

因?yàn)椋怕收f(shuō)的是先有現(xiàn)象，然后去推測(cè)結(jié)果發(fā)生的概率。

那么，所謂的逆概率，就是在知道結(jié)果的情況下去反推現(xiàn)象（也可以理解成原因）出現(xiàn)的概率。

接下來(lái)，我們?cè)偻ㄟ^(guò)一個(gè)垃圾郵件分類的例子，讓大家直觀地感受一下貝葉斯概率的應(yīng)用。

構(gòu)建郵件數(shù)據(jù)集

構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)化的貝葉斯垃圾郵件過(guò)濾數(shù)據(jù)集。

郵件特征

只考慮兩個(gè)特征，即郵件中是否包含“免費(fèi)”、“中獎(jiǎng)”這兩個(gè)詞

郵件類別

郵件分為兩類，垃圾郵件（Spam）和非垃圾郵件（Not Spam）

先驗(yàn)概率

假設(shè)我們從歷史數(shù)據(jù)中得知，垃圾郵件占所有郵件的30%，非垃圾郵件占70%

P(Spam) = 0.3

P(Not Spam) = 0.7

條件概率

假設(shè)在垃圾郵件中，包含“免費(fèi)”的概率是80%，包含“中獎(jiǎng)”的概率是70%

P(免費(fèi)|Spam) = 0.8

P(中獎(jiǎng)|Spam) = 0.7

在非垃圾郵件中，包含“免費(fèi)”的概率是10%，包含“中獎(jiǎng)”的概率是5%

P(免費(fèi)|Not Spam) = 0.1

P(中獎(jiǎng)|Not Spam) = 0.05

新郵件特征

假設(shè)我們收到一封新郵件，它同時(shí)包含“免費(fèi)”和“中獎(jiǎng)”兩個(gè)詞

使用貝葉斯定理計(jì)算后驗(yàn)概率

我們需要計(jì)算這封郵件是垃圾郵件的概率P(Spam|免費(fèi)，中獎(jiǎng))和不是垃圾郵件的概率P(Not Spam|免費(fèi)，中獎(jiǎng))

使用貝葉斯定理，我們可以得到

由于我們假設(shè)免費(fèi)和中獎(jiǎng)是獨(dú)立的，我們可以得到垃圾郵件中的聯(lián)合概率

P(免費(fèi)，中獎(jiǎng)|Spam) = P(免費(fèi)|Spam)* P(中獎(jiǎng)|Spam) = 0.8*0.7 = 0.56

P(免費(fèi)，中獎(jiǎng)|Not Spam) = P(免費(fèi)|Not Spam)* P(中獎(jiǎng)|Not Spam) = 0.1*0.05 = 0.005

決策

因此，該封郵件是垃圾郵件的概率更大一些。

3.貝葉斯概率從悲劇到喜劇的三段經(jīng)歷

貝葉斯概率從誕生到AI時(shí)代的火熱，大致經(jīng)歷了以下三個(gè)階段。

第一階段：從出現(xiàn)到確立

核心事件1：1763年，托馬斯貝葉提出貝葉斯定理，求解逆概率問(wèn)題；

核心事件2：1774年，拉普拉斯發(fā)表《論事件原因存在概率》，綜合了正、逆概率，貝葉斯正式作為逆概率的標(biāo)準(zhǔn)。

第二階段：從寒冬到曙光

核心事件1：拉普拉斯方法中的主觀置信度（即貝葉斯概率部分）受到強(qiáng)烈批評(píng)，如哲學(xué)家密爾形容為“心智失?！?，“自稱是科學(xué)，其實(shí)是無(wú)知”，統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)希爾“謬誤的垃圾”；

核心事件2：20世紀(jì)初，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科出現(xiàn)，主流統(tǒng)計(jì)學(xué)將貝葉斯概率排斥之外；

核心事件3：1933年，安德烈.柯?tīng)柲宸颍岢龈怕使?，柯?tīng)柲灞救耸穷l率學(xué)派。

第三階段：從認(rèn)可到爆發(fā)

核心事件1：20世紀(jì)50年代，薩維奇發(fā)布《統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)》，提出貝葉斯公式是唯一的推理工具；

核心事件2：20世紀(jì)60年代，雷所羅門(mén)諾夫?qū)D靈的可計(jì)算性理論與貝葉斯公式結(jié)合起來(lái)，這就是人工智能一般性框架的前身；

核心事件3：20世紀(jì)80年代，蒙特卡洛模擬方法的出現(xiàn)，特別是馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法（MAMC），給貝葉斯公式的實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了革命。

4.貝葉斯概率坎坷歷程的原因剖析

從上面貝爾斯概率的經(jīng)歷中，可以發(fā)現(xiàn)貝葉斯概率在歷史上大部分時(shí)間之內(nèi)，都處于一種邊緣、受排斥的位置上。

它只是一種數(shù)學(xué)方法而已，原因到底為何呢？

一是計(jì)算復(fù)雜性，古代沒(méi)有計(jì)算機(jī)，計(jì)算器也沒(méi)有.而在貝葉斯定理中，計(jì)算后驗(yàn)概率通常需要對(duì)所有可能的參數(shù)值進(jìn)行積分，這在數(shù)學(xué)計(jì)算上是比較復(fù)雜的。

在計(jì)算技術(shù)不發(fā)達(dá)的時(shí)代，這種計(jì)算上的困難限制了貝葉斯方法的廣泛應(yīng)用。但是，顯然這個(gè)原因頂多會(huì)導(dǎo)致不使用，不至于受排斥。

二是主觀性問(wèn)題，貝葉斯定理依賴于先驗(yàn)概率，即在觀察數(shù)據(jù)之前對(duì)事件發(fā)生概率的估計(jì)。

這種先驗(yàn)概率的設(shè)定被認(rèn)為帶有主觀性，因?yàn)椴煌娜丝赡軙?huì)基于不同的信息或信念設(shè)定不同的先驗(yàn)概率。

在科學(xué)界，尤其是頻率學(xué)派的統(tǒng)計(jì)學(xué)家看來(lái)，這種主觀性是不可接受的，他們更傾向于基于數(shù)據(jù)本身來(lái)估計(jì)概率，而不依賴于任何先驗(yàn)信息。

在我們看來(lái)，主觀或者客觀更多的是的一種認(rèn)識(shí)和利用世界的手段而已，顯然還有更深層次的原因。

三是秩序性問(wèn)題，這才是貝葉斯定律在歷史上遭遇冷遇的根本原因。在哲學(xué)的理性主義時(shí)代，人們普遍認(rèn)為真理是客觀存在的，這種秩序觀強(qiáng)調(diào)世界的運(yùn)行遵循固定的、可預(yù)測(cè)的規(guī)律，而這些規(guī)律是獨(dú)立于人的主觀意識(shí)的。

換句話說(shuō)，社會(huì)中的分層、權(quán)威等也是客觀決定的，不決定于人主觀的意識(shí)，否則社會(huì)只會(huì)變得混亂。

接著，我們?cè)賮?lái)探討一下，歷史上又是那些因素最終拯救了貝葉斯概率呢？

首先，計(jì)算機(jī)與馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法的出現(xiàn)，從根本上解決了貝葉斯方法在算力和積分計(jì)算上的瓶頸。

當(dāng)然，這不是主要原因，因?yàn)槿绻藗兊恼J(rèn)知不發(fā)生改變的話，再好的工具放在手里都起不到應(yīng)有的作用。

其次，實(shí)用主義哲學(xué)的興起，為貝葉斯概率理論提供了堅(jiān)實(shí)的哲學(xué)基礎(chǔ)，解決了主觀與客觀之間的長(zhǎng)期爭(zhēng)論。

實(shí)用主義強(qiáng)調(diào)“好不好用”，而不刻意追求所謂的“正不正確”。在這一哲學(xué)背景下，貝葉斯方法中先驗(yàn)概率的主觀性不再是障礙。

這一觀念的轉(zhuǎn)變，最終使得貝葉斯概率理論從邊緣走向主流，被廣泛接受為處理不確定性問(wèn)題的有效工具。

5.貝葉斯概率在AI中的應(yīng)用

貝葉斯概率理論作為統(tǒng)計(jì)學(xué)與人工智能領(lǐng)域的一顆璀璨明珠，其影響力深遠(yuǎn)，構(gòu)成了貝葉斯學(xué)習(xí)、貝葉斯推理、貝葉斯網(wǎng)絡(luò)、貝葉斯決策以及貝葉斯優(yōu)化等一系列核心理論的基石。

一是貝葉斯學(xué)習(xí)。它的優(yōu)勢(shì)在于其獨(dú)特的增量學(xué)習(xí)能力，它允許模型在訓(xùn)練過(guò)程中不斷更新參數(shù)的概率分布。

這種動(dòng)態(tài)調(diào)整的能力使得模型能夠適應(yīng)不斷變化的數(shù)據(jù)環(huán)境，實(shí)現(xiàn)自我優(yōu)化和提升，特別適合在處理變化數(shù)據(jù)和在線學(xué)習(xí)場(chǎng)景中。

二是貝葉斯推理。它作為一種基于貝葉斯定理的統(tǒng)計(jì)推理方法，不僅能夠提供參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，更重要的是，它能夠提供參數(shù)的分布信息，這為理解和量化模型的不確定性提供了有力工具。

在AI領(lǐng)域，貝葉斯推理被廣泛應(yīng)用于不確定性量化、模型選擇和模型比較，為決策提供更全面、更可靠的依據(jù)。

三是貝葉斯網(wǎng)絡(luò)。作為一種概率圖模型，通過(guò)有向無(wú)環(huán)圖（DAG）巧妙地表示變量之間的條件依賴關(guān)系，為處理復(fù)雜不確定性問(wèn)題提供了強(qiáng)大的工具。

在知識(shí)表示、推理、預(yù)測(cè)和決策支持系統(tǒng)中，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用無(wú)處不在，它能夠幫助我們理解和預(yù)測(cè)復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為，為決策提供科學(xué)依據(jù)。

四是貝葉斯決策。它將貝葉斯概率與決策理論完美結(jié)合，為在不確定性下做出最優(yōu)決策提供了系統(tǒng)性的解決方案。

它考慮了決策的后果和不確定性，通過(guò)最小化預(yù)期損失或最大化預(yù)期效用，可以幫助我們?cè)趶?fù)雜多變的環(huán)境中做出更適合的選擇。

五是貝葉斯優(yōu)化。通過(guò)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的概率模型，貝葉斯優(yōu)化能夠高效地搜索最優(yōu)解，尤其適用于高維、非凸或計(jì)算成本高的優(yōu)化問(wèn)題，如超參數(shù)調(diào)優(yōu)、神經(jīng)架構(gòu)搜索和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等。

6.小結(jié)

人生就像是一個(gè)大戲臺(tái)，不同的人在舞臺(tái)上扮演著不同的角色。同樣，算法的世界也是一方廣闊的舞臺(tái)，不同的算法的命運(yùn)也各不相同。

像貝葉斯算法，盡管生不逢時(shí)，但正如金子早晚會(huì)發(fā)光，貝葉斯算法也在人類文明逐步走向數(shù)字化、智能化的路途中，發(fā)展成為一個(gè)舉足輕重的算法。

并且，貝葉斯概率，如今也已經(jīng)超越了其最初的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，成為了一種理解和解釋世界的哲學(xué)。