全棧必備 貝葉斯方法
數(shù)據(jù)的重要性毋庸置疑，但是如何讓數(shù)據(jù)產(chǎn)生價值呢?
對一個全棧老碼農(nóng)而言，經(jīng)常在開發(fā)或者研發(fā)管理的時候遇到各種預(yù)測、決策、推斷、分類、檢測、排序等諸多問題。面對“你的代碼還有bug么?”這樣的挑戰(zhàn)，一種理智的回答是，我們已經(jīng)執(zhí)行了若干測試用例，當(dāng)前代碼中存在bug的可能性是百分之零點幾。也就是說，我們對當(dāng)前程序中沒有bug的信心是百分之九十九點幾。這實際上就是一直貝葉斯思維，或者說使用了貝葉斯方法。不論我們看到，還是沒有看到，貝葉斯方法都在那里，熠熠生輝。
如何預(yù)測當(dāng)前軟件有沒有bug呢?還是要從貝葉斯定理看起。
貝葉斯定理的淺解
對老碼農(nóng)來說，貝葉斯定理的概率表達相對清晰，理解起來會相對容易?；貞浺幌挛覀儗W(xué)過的概率論，聯(lián)合概率是滿足交換律的，即：
- P(A and B) = P (B and A)
對聯(lián)合概率以條件概率展開：
- P(A and B ) = P(A) P(B|A)
- P(B and A ) = P(B) P(A|B)
從而得到：
- P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)
簡單的變換一下，得到：
- P(B|A)=P(A|B) P(B) / P(A)
大功告成，這就是神奇的貝葉斯定理。其中：
P(B) 為先驗概率，即在得到新數(shù)據(jù)前某一假設(shè)的概率;
P(B|A) 為后驗概率，即在觀察到新數(shù)據(jù)后計算該假設(shè)的概率;
P(A|B)為似然度，即在該假設(shè)下得到這一數(shù)據(jù)的概率;
P(A)為標(biāo)準(zhǔn)化常量，即在任何假設(shè)下得到這一數(shù)據(jù)的概率。
還可以加點料，在計算P(A)的時候，可以用加法定理表示：
- P(A) = P(A and B) + P(A and B_) = P(A|B)P(B)+ P(A|B_) P(B_)
從而有：
其中B_ 是與B相反的事件。就測試與bug 之間的估算而言，《貝葉斯推斷的思想》(http://www.jianshu.com/p/0a038974d48c)一文給出了貝葉斯推斷的結(jié)果，其中就使用了這樣的方法。
貝葉斯方法
貝葉斯方法是一個非常通用的推理框架，用客觀的新信息更新我們最初關(guān)于某個事物的信念后，就會得到一個新的改進了的信念。通過引入先驗的不確定性，允許了初始推斷的錯誤，獲得了更新的證據(jù)后，也沒有放棄初始的推斷，而是調(diào)整為更符合目前的證據(jù)。
但是，P(A|B) 和 P(B|A) 之類的經(jīng)常讓人混淆，@待字閨中的陳老師給出了理解的一個關(guān)鍵點，區(qū)分出規(guī)律和現(xiàn)象，就是將A看成“規(guī)律”，B看成“現(xiàn)象”，那么貝葉斯公式看成：
陳老師在《這的理解貝葉斯公式嗎》和《又一個生活中的貝葉斯應(yīng)用》給出了幾個通俗易懂的例子，這里不再贅述。
回歸到碼農(nóng)生活，我們在改善系統(tǒng)功能的時候，通常的一個手段是AB測試。AB測試是用來檢測兩種不同處理方式的差異化程度的一種統(tǒng)計設(shè)計模式，例如兩個網(wǎng)站誰會帶來更高的轉(zhuǎn)化率，這里的轉(zhuǎn)化可以是用戶的購買、注冊、或其他的行為。AB測試的關(guān)鍵點在于組別之間只能容許一個不同點。實驗后的分析一般都是用假設(shè)檢驗完成的，例如均值差異檢驗或者比例差異檢驗，往往涉及Z分?jǐn)?shù)或令人困惑的p值，而用貝葉斯方法則會自然的多。
對A，B兩個網(wǎng)站的轉(zhuǎn)化概率進行建模。轉(zhuǎn)化率在0～1之間，可采用Beta分布。如果先驗是Beta(a1，b1)，且 觀測到N次訪問里有X次轉(zhuǎn)化，那么此時的后驗分布是Beta(a1+X,b1+N-X). 假設(shè)先驗是Beta(1，1)，等價于【0，1】上的均勻分布，則示例代碼如下：
- from spicy.stats import beta
- a1_prior = 1
- b1_prior =1
- visitors_A = 12345 // 網(wǎng)站A的訪問人數(shù)
- visitors_B = 1616 // 網(wǎng)站B的訪問人數(shù)
- conversions_from_A = 1200 // 網(wǎng)站A的轉(zhuǎn)化人數(shù)
- conversions_from_B = 15 0 // 網(wǎng)站B的轉(zhuǎn)化人數(shù)
- posterior_A = beta(a1_prior+ conversions_from_A,b1_prior + visitors_A -conversions_from_A)
- posterior_B = Beta(a1_prior+converiosns_from_B,b1_prior + visitors_B-conversions_from_B)
- // 對后驗概率進行采樣，用rvs方法生成樣本
- samples = 20000
- samples_posterior_A = posterior_A.rvs(samples)
- samples_posterior_B = posterior_B.rvs(samples)
- // 對后驗概率進行比較
- print (samples_posterior_A > samples_posterior_B).mean()
使用貝葉斯方法，是從思考數(shù)據(jù)是如何產(chǎn)生的開始。 1)什么隨機變量能過描述這些統(tǒng)計數(shù)據(jù) 2)確實概率分布的所需參數(shù) 3)參數(shù)對應(yīng)早期行為，或后期行為，定義各種變化點 4)定義參數(shù)的概率分布 5)參數(shù)概率分布的變量選擇，直到一個可以假設(shè)的均勻分布
對先驗及后驗概率的選擇，針對應(yīng)用場景而定。就先驗分布而言，除了常見的分布外，還有： * Gamma分布，指數(shù)隨機變量的推廣 * 威沙特分布 ，是所有半正定矩陣的分布，是一個協(xié)方差矩陣的適當(dāng)?shù)南闰灐?* Beta分布，隨機變量定義在0到1之間，使其成為概率和比例的熱門選擇。 * 冪律分布，滿足公司規(guī)模和公司數(shù)量之間的關(guān)系
在AB測試中使用了Beta分布， 應(yīng)用了一個Beta先驗分布連同二項式生成的觀測數(shù)據(jù)形成一個Beta后驗分布這一原理。
當(dāng)面對多種對象之間的因果關(guān)系的時候，貝葉斯方法演變成為了貝葉斯網(wǎng)絡(luò)。
貝葉斯網(wǎng)絡(luò)
貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是為了解決不定性和不完整性問題而提出的，在多個領(lǐng)域中獲得了廣泛應(yīng)用。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是基于概率推理的圖形化網(wǎng)絡(luò)，而貝葉斯公式則是這個概率網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的每個點代表一個隨機變量，都是具有實際含義、需要人為設(shè)計的，點和點之間的邊代表不確定的因果關(guān)系，例如 節(jié)點E直接影響到節(jié)點H，即E→H，則用從E指向H的箭頭建立結(jié)點E到結(jié)點H的有向弧(E,H)，權(quán)值(即連接強度)用條件概率P(H|E)來表示。
實際上，如果事物之間的關(guān)系能夠用一條鏈串起來，形成了貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的一個特例——馬爾可夫鏈，換個角度看， 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是馬爾可夫鏈的非線性擴展。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中當(dāng)某點的一個證據(jù)出現(xiàn)后，整個網(wǎng)絡(luò)中事件的概率都會變化。
簡單地，由于多個變量間存在著可能的依賴性，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)說明了其中的聯(lián)合條件概率分布，允許在變量的子集間定義條件獨立性。使用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的過程與使用貝葉斯方法的過程是類似的：
- 通過多個離散變量建立網(wǎng)絡(luò)，是一個有向無環(huán)圖
- 參數(shù)的設(shè)置或?qū)W習(xí)，即對DAG進行遍歷，計算各節(jié)點的概率表
- 網(wǎng)絡(luò)推理，對因果關(guān)系得到置信概率
- 推理結(jié)果
例如， 社交網(wǎng)絡(luò)中不真實賬戶的檢測問題。首先確定網(wǎng)絡(luò)中的隨機變量： * 賬戶的真實性 A * 頭像的真實性 H * 發(fā)帖即日志的密度 L * 好友的密度 F
使用觀測值示例化H，L，F(xiàn)，把隨機值賦給A，得到
- P(A|H,L,F) = P(H|A)P(L|A)P(F|A,H)
然后就可以在社交網(wǎng)絡(luò)中嘗試使用該推理結(jié)果了。在《算法雜貨鋪——分類算法之貝葉斯網(wǎng)絡(luò)》一文中對這一例子給出了相對詳細(xì)的說明。
可以說，貝葉斯方法席卷了整個概率論，并將應(yīng)用延伸到各個問題領(lǐng)域，所有需要作出概率預(yù)測的地方都可以見到貝葉斯方法的影子，特別地，貝葉斯方法對機器學(xué)習(xí)能夠有什么幫助呢?
貝葉斯與機器學(xué)習(xí)
機器學(xué)習(xí)在業(yè)界炙手可熱，但我們在機器學(xué)習(xí)里同樣會遇到預(yù)測、決策、分類、檢測等問題，貝葉斯方法同樣大有用武之地。
機器學(xué)習(xí)中有大量的模型，如線性模型、非線性模型，可以采用貝葉斯方法來做模型的預(yù)測。也就是說，某一場景可能采用的模型是***多的，可以用概率分布去描述它。對于假設(shè)的先驗，對新來的樣本做預(yù)測如計算它的似然，然后用前面推出來的后驗分布做積分，這個給定模型下樣本的似然，就是所有可能模型的分布。
機器學(xué)習(xí)中模型的選擇和比較也是一個常見的問題。例如，在分類問題時，我們使用線性模型還是深度學(xué)習(xí)的非線性模型呢?貝葉斯方法是這樣考慮的： 用A 表示一個模型類別，可能是線性模型，B 表示另一個模型類別，可能是非線性模型。在同樣的數(shù)據(jù)集X下，計算在A，B 情況下觀察到訓(xùn)練集的似然Ma，Mb，然后比較Ma和Mb，這是貝葉斯方法做模型選擇的一個基本規(guī)則。
實際上， 貝葉斯定理是信息處理的一種準(zhǔn)則， 輸入是一個先驗分布和一個似然函數(shù)，輸出是一個后驗分布。對機器學(xué)習(xí)中的模型本身，也可以通過貝葉斯方法嘗試改進，例如貝葉斯SVM, 高斯過程的貝葉斯等等。
另外，貝葉斯方法對深度學(xué)習(xí)而言，至少在調(diào)參的這一環(huán)節(jié)還是很有用的。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，每一層參數(shù)如卷積核的大小和數(shù)量等，都不會在深度學(xué)習(xí)中被模型自動優(yōu)化的，需要手工指定，這或許就是貝葉斯優(yōu)化。
【本文來自51CTO專欄作者“老曹”的原創(chuàng)文章，作者微信公眾號：喔家ArchiSelf,id:wrieless-com】
