1 B樹

在介紹B+樹之前， 先簡單的介紹一下B樹，這兩種數(shù)據(jù)結構既有相似之處，也有他們的區(qū)別，最后，我們也會對比一下這兩種數(shù)據(jù)結構的區(qū)別。

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1.1 B樹概念

B樹也稱B-樹,它是一顆多路平衡查找樹。二叉樹我想大家都不陌生，其實，B樹和后面講到的B+樹也是從最簡單的二叉樹變換而來的，并沒有什么神秘的地方，下面我們來看看B樹的定義。

• 每個節(jié)點最多有m-1個關鍵字(可以存有的鍵值對)。
• 根節(jié)點最少可以只有1個關鍵字。
• 非根節(jié)點至少有m/2個關鍵字。
• 每個節(jié)點中的關鍵字都按照從小到大的順序排列，每個關鍵字的左子樹中的所有關鍵字都小于它，而右子樹中的所有關鍵字都大于它。
• 所有葉子節(jié)點都位于同一層，或者說根節(jié)點到每個葉子節(jié)點的長度都相同。
• 每個節(jié)點都存有索引和數(shù)據(jù)，也就是對應的key和value。

所以，根節(jié)點的關鍵字數(shù)量范圍：1 <= k <= m-1，非根節(jié)點的關鍵字數(shù)量范圍：m/2 <= k <= m-1。

另外，我們需要注意一個概念，描述一顆B樹時需要指定它的階數(shù)，階數(shù)表示了一個節(jié)點最多有多少個孩子節(jié)點，一般用字母m表示階數(shù)。

我們再舉個例子來說明一下上面的概念，比如這里有一個5階的B樹，根節(jié)點數(shù)量范圍：1 <= k <= 4，非根節(jié)點數(shù)量范圍：2 <= k <= 4。

下面，我們通過一個插入的例子，講解一下B樹的插入過程，接著，再講解一下刪除關鍵字的過程。

1.2 B樹插入

插入的時候，我們需要記住一個規(guī)則：判斷當前結點key的個數(shù)是否小于等于m-1，如果滿足，直接插入即可，如果不滿足，將節(jié)點的中間的key將這個節(jié)點分為左右兩部分，中間的節(jié)點放到父節(jié)點中即可。

例子：在5階B樹中，結點最多有4個key,最少有2個key(注意：下面的節(jié)點統(tǒng)一用一個節(jié)點表示key和value)。

插入18，70，50,40

插入22

插入22時，發(fā)現(xiàn)這個節(jié)點的關鍵字已經(jīng)大于4了，所以需要進行分裂，分裂的規(guī)則在上面已經(jīng)講了，分裂之后，如下。

接著插入23，25，39

分裂，得到下面的。

更過的插入的過程就不多介紹了，相信有這個例子你已經(jīng)知道怎么進行插入操作了。

1.3 B樹的刪除操作

B樹的刪除操作相對于插入操作是相對復雜一些的，但是，你知道記住幾種情況，一樣可以很輕松的掌握的。

現(xiàn)在有一個初始狀態(tài)是下面這樣的B樹，然后進行刪除操作。

刪除15，這種情況是刪除葉子節(jié)點的元素，如果刪除之后，節(jié)點數(shù)還是大于m/2，這種情況只要直接刪除即可。

接著，我們把22刪除，這種情況的規(guī)則：22是非葉子節(jié)點，對于非葉子節(jié)點的刪除，我們需要用后繼key(元素)覆蓋要刪除的key，然后在后繼key所在的子支中刪除該后繼key。對于刪除22，需要將后繼元素24移到被刪除的22所在的節(jié)點。

此時發(fā)現(xiàn)26所在的節(jié)點只有一個元素，小于2個(m/2)，這個節(jié)點不符合要求，這時候的規(guī)則(向兄弟節(jié)點借元素)：如果刪除葉子節(jié)點，如果刪除元素后元素個數(shù)少于(m/2)，并且它的兄弟節(jié)點的元素大于(m/2)，也就是說兄弟節(jié)點的元素比最少值m/2還多，將先將父節(jié)點的元素移到該節(jié)點，然后將兄弟節(jié)點的元素再移動到父節(jié)點。這樣就滿足要求了。

我們看看操作過程就更加明白了。

接著刪除28，刪除葉子節(jié)點，刪除后不滿足要求，所以，我們需要考慮向兄弟節(jié)點借元素，但是，兄弟節(jié)點也沒有多的節(jié)點(2個)，借不了，怎么辦呢?如果遇到這種情況，首先，還是將先將父節(jié)點的元素移到該節(jié)點，然后，將當前節(jié)點及它的兄弟節(jié)點中的key合并，形成一個新的節(jié)點。

移動之后，跟兄弟節(jié)點合并。

刪除就只有上面的幾種情況，根據(jù)不同的情況進行刪除即可。

上面的這些介紹，相信對于B樹已經(jīng)有一定的了解了，接下來的一部分，我們接著講解B+樹，我相信加上B+樹的對比，就更加清晰明了了。

2 B+樹

2.1 B+樹概述

B+樹其實和B樹是非常相似的，我們首先看看相同點。

• 根節(jié)點至少一個元素
• 非根節(jié)點元素范圍：m/2 <= k <= m-1

不同點。

• B+樹有兩種類型的節(jié)點：內部結點(也稱索引結點)和葉子結點。內部節(jié)點就是非葉子節(jié)點，內部節(jié)點不存儲數(shù)據(jù)，只存儲索引，數(shù)據(jù)都存儲在葉子節(jié)點。
• 內部結點中的key都按照從小到大的順序排列，對于內部結點中的一個key，左樹中的所有key都小于它，右子樹中的key都大于等于它。葉子結點中的記錄也按照key的大小排列。
• 每個葉子結點都存有相鄰葉子結點的指針，葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大順序鏈接。
• 父節(jié)點存有右孩子的第一個元素的索引。

下面我們看一個B+樹的例子，感受感受它吧!

2.2 插入操作

對于插入操作很簡單，只需要記住一個技巧即可：當節(jié)點元素數(shù)量大于m-1的時候，按中間元素分裂成左右兩部分，中間元素分裂到父節(jié)點當做索引存儲，但是，本身中間元素還是分裂右邊這一部分的。

下面以一顆5階B+樹的插入過程為例，5階B+樹的節(jié)點最少2個元素，最多4個元素。

插入5，10，15，20

插入25，此時元素數(shù)量大于4個了，分裂

接著插入26，30，繼續(xù)分裂

有了這幾個例子，相信插入操作沒什么問題了，下面接著看看刪除操作。

2.3 刪除操作

對于刪除操作是比B樹簡單一些的，因為葉子節(jié)點有指針的存在，向兄弟節(jié)點借元素時，不需要通過父節(jié)點了，而是可以直接通過兄弟節(jié)移動即可(前提是兄弟節(jié)點的元素大于m/2)，然后更新父節(jié)點的索引;如果兄弟節(jié)點的元素不大于m/2(兄弟節(jié)點也沒有多余的元素)，則將當前節(jié)點和兄弟節(jié)點合并，并且刪除父節(jié)點中的key，下面我們看看具體的實例。

初始狀態(tài)

刪除10，刪除后，不滿足要求，發(fā)現(xiàn)左邊兄弟節(jié)點有多余的元素，所以去借元素，最后，修改父節(jié)點索引

刪除元素5，發(fā)現(xiàn)不滿足要求，并且發(fā)現(xiàn)左右兄弟節(jié)點都沒有多余的元素，所以，可以選擇和兄弟節(jié)點合并，最后修改父節(jié)點索引

發(fā)現(xiàn)父節(jié)點索引也不滿足條件，所以，需要做跟上面一步一樣的操作

這樣，B+樹的刪除操作也就完成了，是不是看完之后，覺得非常簡單!

3 B樹和B+樹總結

B+樹相對于B樹有一些自己的優(yōu)勢，可以歸結為下面幾點。

• 單一節(jié)點存儲的元素更多，使得查詢的IO次數(shù)更少，所以也就使得它更適合做為數(shù)據(jù)庫MySQL的底層數(shù)據(jù)結構了。
• 所有的查詢都要查找到葉子節(jié)點，查詢性能是穩(wěn)定的，而B樹，每個節(jié)點都可以查找到數(shù)據(jù)，所以不穩(wěn)定。
• 所有的葉子節(jié)點形成了一個有序鏈表，更加便于查找。