公交車(chē)總遲到？你大概掉進(jìn)了“等待時(shí)間悖論”
大數(shù)據(jù)文摘出品
編譯：李雷、小蔣、錢(qián)天培
如果你經(jīng)常坐公交車(chē)，相信下面這一場(chǎng)景對(duì)你絕不陌生。
你到了車(chē)站，準(zhǔn)備搭乘聲稱(chēng)每10分鐘一班的公交車(chē)。你盯著你的手表留意著時(shí)間，結(jié)果公交車(chē)終于在11分鐘后到來(lái)。
這時(shí)你不由得感嘆：為什么今天運(yùn)氣這么差!
想想也是。如果公交車(chē)每10分鐘一班，而你到達(dá)的時(shí)間是隨機(jī)的，那么你的平均等待時(shí)間難道不是5分鐘嘛?
但實(shí)際上，等待公交車(chē)的時(shí)間似乎永遠(yuǎn)要比你預(yù)估的久。
究竟是你錯(cuò)了?還是公交運(yùn)營(yíng)系統(tǒng)出了問(wèn)題?
事實(shí)證明，在一些合理的假設(shè)下，你可以得出一個(gè)驚人的結(jié)論：
在等待平均10分鐘一班的公交車(chē)時(shí)，你的平均等待時(shí)間將為10分鐘。
這就叫等待時(shí)間悖論。
等待時(shí)間悖論
如果公交車(chē)精確每10分鐘來(lái)一輛，那么你的平均等待時(shí)間就是這個(gè)間隔的一半：5分鐘。
可是，如果我們給這個(gè)10分鐘加上一點(diǎn)隨機(jī)成分呢?
這時(shí)，等待時(shí)間悖論就出現(xiàn)了。
等待時(shí)間悖是檢驗(yàn)悖論的一種。那么，什么是檢驗(yàn)悖論呢?
簡(jiǎn)言之，只要觀察量的概率與觀察量有關(guān)，就會(huì)出現(xiàn)檢驗(yàn)悖論。比如說(shuō)，我們做了一個(gè)調(diào)查大學(xué)生班級(jí)平均人數(shù)的調(diào)查。雖然學(xué)校確實(shí)保證每班平均有30名學(xué)生，但實(shí)際調(diào)查下來(lái)的平均班級(jí)規(guī)模通常會(huì)大得多。
原因是，較大的班級(jí)中就有更多的學(xué)生，因此在計(jì)算學(xué)生的平均體驗(yàn)時(shí)，你會(huì)對(duì)大班進(jìn)行過(guò)度地抽樣。極端得講，如果有一個(gè)班一個(gè)學(xué)生也沒(méi)有，那你壓根不會(huì)抽樣到這個(gè)班級(jí)的學(xué)生。
對(duì)于通常10分鐘一班的公交線路，有時(shí)兩班車(chē)的間隔會(huì)超過(guò)10分鐘，有時(shí)則短點(diǎn)。如果你在隨機(jī)時(shí)間到達(dá)，那你會(huì)有更多機(jī)會(huì)遇到更長(zhǎng)的等待間隔，而不是較短的。
因此，乘客所經(jīng)歷的平均等待時(shí)間間隔將比公交車(chē)之間的平均到達(dá)時(shí)間間隔更長(zhǎng)，因?yàn)檩^長(zhǎng)的間隔是被過(guò)度采樣了的。
但等待時(shí)間悖論提出了一個(gè)比這更震撼的主張。
當(dāng)兩班車(chē)的平均間隔是N分鐘時(shí)，搭乘者所經(jīng)歷的平均等待時(shí)間也是N分鐘，而非N/2分鐘。
這是真的嗎?
模擬等待時(shí)間
為了證明等待時(shí)間悖論的合理性，讓我們首先模擬平均每10分鐘到達(dá)一班的公交車(chē)流。
我們將模擬大量的公交車(chē)到達(dá)的情況：100萬(wàn)輛(或大約19年中全天不間斷的10分鐘來(lái)一輛車(chē)的間隔)，以保證實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性。
- import numpy as np
- N = 1000000 # number of buses
- tau = 10 # average minutes between arrivals
- rand = np.random.RandomState(42) # universal random seed
- bus_arrival_times = N * tau * np.sort(rand.rand(N))
為了確認(rèn)我們做的是對(duì)的，讓我們檢查一下平均間隔是否接近τ= 10：
- intervals = np.diff(bus_arrival_times)
- intervals.mean()
輸出：
- 9.9999879601518398
通過(guò)模擬這些公交車(chē)到達(dá)，我們現(xiàn)在可以模擬大量乘客在此期間到達(dá)公交車(chē)站，并計(jì)算他們每個(gè)人經(jīng)歷的等待時(shí)間。讓我們將它封裝在一個(gè)函數(shù)中供以后使用：
- def simulate_wait_times(arrival_times,
- rseed=8675309, # Jenny's random seed
- n_passengers=1000000):
- rand = np.random.RandomState(rseed)
- arrival_times = np.asarray(arrival_times)
- passenger_times = arrival_times.max() * rand.rand(n_passengers)
- # find the index of the next bus for each simulated passenger
- i = np.searchsorted(arrival_times, passenger_times, side='right')
- return arrival_times[i] - passenger_times
然后我們可以模擬一些等待時(shí)間并計(jì)算平均值：
- wait_times = simulate_wait_times(bus_arrival_times)
- wait_times.mean()
輸出：
- 10.001584206227317
平均等待時(shí)間接近10分鐘。正如等待時(shí)間悖論預(yù)測(cè)的那樣。
深入挖掘：概率和泊松過(guò)程
我們?nèi)绾卫斫膺@一現(xiàn)象呢?
從本質(zhì)上說(shuō)，這是檢驗(yàn)悖論的一個(gè)例子，其中觀察值的概率與觀察值本身有關(guān)。 讓我們用p(T)表示公交車(chē)到達(dá)車(chē)站時(shí)間隔T的分布。 在這種表示法中，到達(dá)時(shí)間的期望值是：
在上面的模擬中，我們選擇了E [T] =τ= 10分鐘。
當(dāng)乘客隨機(jī)到達(dá)公交車(chē)站時(shí)，他們所經(jīng)歷的時(shí)間間隔的概率將受到p(T)的影響，但也受到T本身的影響：間隔時(shí)間越長(zhǎng)，乘客遇到這一間隔的概率就越大。
所以我們可以得出乘客所經(jīng)歷的到達(dá)時(shí)間分布：
比例常數(shù)來(lái)自正態(tài)化分布：
與上面相比，我們可以將它簡(jiǎn)化為
預(yù)計(jì)等待時(shí)間E [W]將是乘客所經(jīng)歷的預(yù)期間隔的一半，所以我們可以寫(xiě)作
或者可以寫(xiě)得更清楚一點(diǎn)：
現(xiàn)在，讓我們?yōu)閜(T)選擇一個(gè)表格并計(jì)算積分。
(1) 選擇p(T)
如果我們這種公式推導(dǎo)可行，那用于p(T)的合理分布是什么?
我們可以通過(guò)繪制兩班車(chē)間隔的直方圖來(lái)獲得模擬到達(dá)中的p(T)分布的圖片：
- %matplotlib inline
- import matplotlib.pyplot as plt
- plt.style.use('seaborn')
- plt.hist(intervals, bins=np.arange(80), density=True)
- plt.axvline(intervals.mean(), color='black', linestyle='dotted')
- plt.xlabel('Interval between arrivals (minutes)')
- plt.ylabel('Probability density');
這里的垂直虛線表示平均的間隔大約為10分鐘。這看起來(lái)非常像指數(shù)分布，而且并非偶然：我們將公交車(chē)的到達(dá)時(shí)間模擬為均勻隨機(jī)數(shù)，這非常接近于泊松過(guò)程，對(duì)于這樣的過(guò)程，可以證明到達(dá)之間的間隔分布是呈指數(shù)分布的。
注：實(shí)際上，在區(qū)間Nτ內(nèi)均勻采樣N個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)之間的間隔T遵循β分布：T /(Nτ)〜Bet [1，N]，當(dāng)N很大的時(shí)候這個(gè)極限趨于T~Exp [1 /τ]。
區(qū)間的指數(shù)分布意味著到達(dá)時(shí)間遵循泊松過(guò)程。
通過(guò)再次檢查這個(gè)推斷，我們可以確認(rèn)它與泊松過(guò)程的另一個(gè)屬性的相匹配：在固定時(shí)間范圍內(nèi)到達(dá)公交的數(shù)量將是泊松分布的。讓我們將模擬到達(dá)的時(shí)間按小時(shí)分桶檢查一下：
- from scipy.stats import poisson
- # count the number of arrivals in 1-hour bins
- binsize = 60
- binned_arrivals = np.bincount((bus_arrival_times // binsize).astype(int))
- x = np.arange(20)
- # plot the results
- plt.hist(binned_arrivals, bins=x - 0.5, density=True, alpha=0.5, label='simulation')
- plt.plot(x, poisson(binsize / tau).pmf(x), 'ok', label='Poisson prediction')
- plt.xlabel('Number of arrivals per hour')
- plt.ylabel('frequency')
- plt.legend();
經(jīng)驗(yàn)值和理論值緊密匹配，這讓我們相信我們的解釋是正確：對(duì)于大N，柏松過(guò)程可以很好地描述我們模擬的公交到達(dá)時(shí)間，其到達(dá)間隔是指數(shù)分布的。
這意味著概率分布如下：
將此概率分布代入上面的公式，我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)人的平均等待時(shí)間為
乘客的預(yù)期等待時(shí)間與公交到達(dá)的平均間隔相同!
一種補(bǔ)充的推斷方式是：泊松過(guò)程是一個(gè)無(wú)記憶過(guò)程，這意味著事件發(fā)生的歷史情況與下一個(gè)事件的預(yù)期時(shí)間無(wú)關(guān)。所以當(dāng)你到達(dá)公交站后，等到下一班公交的平均等待時(shí)間總是一樣的：在我們的案例中，它是10分鐘，這與上一班車(chē)走了多久無(wú)關(guān)!
同樣的原理，你已經(jīng)等待了多久并不重要：下一輛公交預(yù)計(jì)的到達(dá)時(shí)間總是10分鐘：對(duì)泊松過(guò)程來(lái)說(shuō)，你花費(fèi)在等待的時(shí)間沒(méi)用。
實(shí)際的等待時(shí)間
如果通過(guò)泊松過(guò)程確實(shí)描述了真實(shí)世界的公交到達(dá)時(shí)間，上述分析是正確的，但事實(shí)真的如此嗎?
為了確定等待時(shí)間悖論是否描述了現(xiàn)實(shí)情況，我們深入研究了一些可供下載的數(shù)據(jù)：arrival_times.csv(3MB的CSV文件)
https://gist.githubusercontent.com/jakevdp/82409002fcc5142a2add0168c274a869/raw/1bbabf78333306dbc45b9f33662500957b2b6dc3/arrival_times.csv
該數(shù)據(jù)集包含2016年第二季度記錄的西雅圖市中心3rd & Pike公交站的西雅圖Rapid Ride C、D、E線的預(yù)定和實(shí)際到達(dá)時(shí)間。
- import pandas as pd
- df = pd.read_csv('arrival_times.csv')
- dfdf = df.dropna(axis=0, how='any')
- df.head()
我特意選擇Rapid Ride路線的數(shù)據(jù)是因?yàn)?，在一天的大部分時(shí)間里，公交車(chē)的間隔很規(guī)律，通常在10到15分鐘之間。
(1) 數(shù)據(jù)清洗
首先，讓我們進(jìn)行一下數(shù)據(jù)清洗，將其轉(zhuǎn)換為更易于使用的表單：
- # combine date and time into a single timestamp
- df['scheduled'] = pd.to_datetime(df['OPD_DATE'] + ' ' + df['SCH_STOP_TM'])
- df['actual'] = pd.to_datetime(df['OPD_DATE'] + ' ' + df['ACT_STOP_TM'])
- # if scheduled & actual span midnight, then the actual day needs to be adjusted
- minute = np.timedelta64(1, 'm')
- hour = 60 * minute
- diff_hrs = (df['actual'] - df['scheduled']) / hour
- df.loc[diff_hrs > 20, 'actual'] -= 24 * hour
- df.loc[diff_hrs < -20, 'actual'] += 24 * hour
- df['minutes_late'] = (df['actual'] - df['scheduled']) / minute
- # map internal route codes to external route letters
- df['route'] = df['RTE'].replace({673: 'C', 674: 'D', 675: 'E'}).astype('category')
- df['direction'] = df['DIR'].replace({'N': 'northbound', 'S': 'southbound'}).astype('category')
- # extract useful columns
- dfdf = df[['route', 'direction', 'scheduled', 'actual', 'minutes_late']].copy()
- df.head()
(2) 公交車(chē)晚了多少?
該表中主要有六個(gè)不同的數(shù)據(jù)集：C、D和E線的北行和南行。為了了解它們的特性，讓我們繪制這六條線路的實(shí)際與預(yù)定到達(dá)時(shí)間差的直方圖：
- import seaborn as sns
- g = sns.FacetGrid(df, row="direction", col="route")
- g.map(plt.hist, "minutes_late", bins=np.arange(-10, 20))
- g.set_titles('{col_name} {row_name}')
- g.set_axis_labels('minutes late', 'number of buses');
你可能會(huì)認(rèn)為公交車(chē)每次在行程開(kāi)始時(shí)與其時(shí)間表更接近，并且在快結(jié)束時(shí)有更多的差異，這在數(shù)據(jù)中得到了證實(shí)：南行(southbound)C線和北行(northbound) D線、E線都在各自路線的起點(diǎn)接近時(shí)間表，而其反方向在終點(diǎn)時(shí)更接近。
(3) 預(yù)定和觀察到的到達(dá)時(shí)間間隔
接下來(lái)讓我們來(lái)看看這六條路線觀察和預(yù)計(jì)的到達(dá)時(shí)間間隔。我們首先使用Pandas 的groupby功能分別計(jì)算這些間隔：
- def compute_headway(scheduled):
- minute = np.timedelta64(1, 'm')
- return scheduled.sort_values().diff() / minute
- grouped = df.groupby(['route', 'direction'])
- df['actual_interval'] = grouped['actual'].transform(compute_headway)
- df['scheduled_interval'] = grouped['scheduled'].transform(compute_headway)
- g = sns.FacetGrid(df.dropna(), row="direction", col="route")
- g.map(plt.hist, "actual_interval", bins=np.arange(50) + 0.5)
- g.set_titles('{col_name} {row_name}')
- g.set_axis_labels('actual interval (minutes)', 'number of buses');
可以很清楚看出，這并不像我們模型的指數(shù)分布形式，此外，分布可能受到非恒定的預(yù)定到達(dá)間隔的影響。
讓我們重復(fù)上面的圖表，查看預(yù)定到達(dá)間隔的分布：
這表明公交車(chē)在整個(gè)星期都有不同的到達(dá)時(shí)間間隔，所以我們無(wú)法從原始到達(dá)時(shí)間數(shù)據(jù)的分布來(lái)評(píng)估等待時(shí)間悖論的準(zhǔn)確性。
- g = sns.FacetGrid(df.dropna(), row="direction", col="route")
- g.map(plt.hist, "scheduled_interval", bins=np.arange(20) - 0.5)
- g.set_titles('{col_name} {row_name}')
- g.set_axis_labels('scheduled interval (minutes)', 'frequency');
構(gòu)建均勻分布的時(shí)間表
即使預(yù)定的到達(dá)間隔不均勻，也有一些特定的間隔有大量到達(dá)的數(shù)據(jù)：例如，有近2000個(gè)北行E線的預(yù)定間隔為10分鐘。為了探索等待時(shí)間悖論是否適用，讓我們按路線、方向和預(yù)定間隔對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，然后將這些近似的到達(dá)時(shí)間重新堆疊在一起，就像它們按順序發(fā)生的一樣。這應(yīng)該保持了原始數(shù)據(jù)所有的相關(guān)特征，同時(shí)更容易直接與等待時(shí)間悖論的預(yù)測(cè)比較。
- def stack_sequence(data):
- # first, sort by scheduled time
- datadata = data.sort_values('scheduled')
- # re-stack data & recompute relevant quantities
- data['scheduled'] = data['scheduled_interval'].cumsum()
- data['actual'] = data['scheduled'] + data['minutes_late']
- data['actual_interval'] = data['actual'].sort_values().diff()
- return data
- subset = df[df.scheduled_interval.isin([10, 12, 15])]
- grouped = subset.groupby(['route', 'direction', 'scheduled_interval'])
- sequenced = grouped.apply(stack_sequence).reset_index(drop=True)
- sequenced.head()
使用這些清理過(guò)的數(shù)據(jù)，我們可以繪制不同路線、方向和到達(dá)頻率的“實(shí)際”到達(dá)間隔的分布：
- for route in ['C', 'D', 'E']:
- g = sns.FacetGrid(sequenced.query(f"route == '{route}'"),
- row="direction", col="scheduled_interval")
- g.map(plt.hist, "actual_interval", bins=np.arange(40) + 0.5)
- g.set_titles('{row_name} ({col_name:.0f} min)')
- g.set_axis_labels('actual interval (min)', 'count')
- g.fig.set_size_inches(8, 4)
- g.fig.suptitle(f'{route} line', y=1.05, fontsize=14)
我們看到，每條路線和時(shí)間表的觀測(cè)到達(dá)間隔的分布接近高斯分布，在預(yù)定的到達(dá)間隔附近達(dá)到峰值，并且在路線開(kāi)始附近具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差(C的南行(southbound)，D / E的北行(northbound))，以及在路線結(jié)束附近有更大的標(biāo)準(zhǔn)差。
即使不經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)測(cè)試，我們也可以清楚地看到，實(shí)際的到達(dá)時(shí)間間隔肯定不是指數(shù)分布的，因而等待時(shí)間悖論所依賴(lài)的基本假設(shè)并不成立。
我們可以利用上面使用的等待時(shí)間模擬功能來(lái)找到每條公交路線、方向和時(shí)間表的平均等待時(shí)間：
- grouped = sequenced.groupby(['route', 'direction', 'scheduled_interval'])
- sims = grouped['actual'].apply(simulate_wait_times)
- sims.apply(lambda times: "{0:.1f} +/- {1:.1f}".format(times.mean(), times.std()))
輸出：
平均等待時(shí)間可能比預(yù)定時(shí)間間隔的一半長(zhǎng)上一兩分鐘，但不等于等待時(shí)間悖論所暗示的預(yù)定時(shí)間間隔。換句話說(shuō)，檢驗(yàn)悖論得到了證實(shí)，但等待時(shí)間悖論似乎與現(xiàn)實(shí)不符。
結(jié)論
等待時(shí)間悖論是個(gè)非常有趣的現(xiàn)象。它涵蓋了模擬、概率以及統(tǒng)計(jì)假設(shè)與現(xiàn)實(shí)的比較。
雖然我們確認(rèn)了，現(xiàn)實(shí)世界的公交線路確實(shí)遵循了一些版本的檢驗(yàn)悖論，但上面的分析非常明確地顯示，等待時(shí)間悖論背后的核心假設(shè)(公交車(chē)的到達(dá)時(shí)間遵循泊松過(guò)程)并不是很有根據(jù)。
回想起來(lái)，這也并不令人驚訝：泊松過(guò)程是一個(gè)無(wú)記憶過(guò)程，它假設(shè)到達(dá)的概率完全獨(dú)立于自上次到達(dá)的時(shí)間。實(shí)際上，一個(gè)運(yùn)行良好的公交系統(tǒng)將有一個(gè)有意安排的時(shí)間表，用以避免這種行為：公交車(chē)不會(huì)在一天中的隨機(jī)時(shí)間開(kāi)始他們的路線，而是按照選擇能夠***服務(wù)公眾的時(shí)間表開(kāi)始他們的路線。
這里更大的教訓(xùn)是，你應(yīng)該謹(jǐn)慎對(duì)待任何數(shù)據(jù)分析工作的假設(shè)。泊松過(guò)程可以良好地描述到達(dá)時(shí)間的數(shù)據(jù) – 但只是在某些特定情況下。
僅僅因?yàn)橐环N類(lèi)型的數(shù)據(jù)看起來(lái)像另一種類(lèi)型的數(shù)據(jù)，并不能推導(dǎo)出對(duì)一種數(shù)據(jù)有效的假設(shè)必然對(duì)另一種有效。
通常那些看似正確的假設(shè)可能會(huì)導(dǎo)致與現(xiàn)實(shí)不符的結(jié)論。
***，你可以在這里下載本文全部代碼👇http://jakevdp.github.io/downloads/notebooks/WaitingTimeParadox.ipynb
相關(guān)報(bào)道：
http://jakevdp.github.io/blog/2018/09/13/waiting-time-paradox/?utm_source=mybridge&utm_medium=blog&utm_campaign=read_more
【本文是51CTO專(zhuān)欄機(jī)構(gòu)大數(shù)據(jù)文摘的原創(chuàng)文章，微信公眾號(hào)“大數(shù)據(jù)文摘（ id: BigDataDigest）”】
