就在剛剛，AI完成了首個(gè)非平凡研究數(shù)學(xué)證明！

完成這項(xiàng)研究的，是美國紐約布魯克海文國家實(shí)驗(yàn)室凝聚態(tài)物理與材料科學(xué)分部的一位華人學(xué)者Weiguo Yin。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2503.23758

在這項(xiàng)研究中，作者在一維J_1-J_2 q態(tài)Potts模型，通過引入最大對稱子空間（MSS）方法，對其精確求解。

具體來說，作者將q^2×q^2的傳遞矩陣進(jìn)行塊對角化。

而q=3的情況，正是基于OpenAI的最新推理模型o3-mini-high來精確求解的。

在AI的幫助下，研究者成功證明，模型可以映射為一維q態(tài)Potts模型，其中J_2作為最近鄰相互作用，J_1則作為有效的磁場，這一結(jié)果擴(kuò)展了之前在q=2，即Ising模型的證明。

注意，這個(gè)問題，在數(shù)學(xué)界有50年沒有解決。

論文引用了關(guān)于J_1?J_2伊辛模型（即q=2的Potts模型）的工作，這些工作可以追溯到1969年和1970年。

而o3-mini-high幫忙完成的這項(xiàng)證明，為眾多懸而未決的物理問題（層狀材料中原子或電子順序堆疊的問題，以及非常規(guī)超導(dǎo)體中常見的T_c-拱形相的形成等），提供了全新的見解。

AI模型在科學(xué)研究中的巨大潛力，也再一次被證實(shí)！

Weiguo于2004年加入布魯克海文國家實(shí)驗(yàn)室擔(dān)任研究員，并于2006年晉升為助理物理學(xué)家，2008年晉升為副物理學(xué)家，2011年晉升為物理學(xué)家。

他的專長在于結(jié)合第一性原理、有效哈密頓量和機(jī)器學(xué)習(xí)方法，研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系、挫敗磁性、超導(dǎo)性、多鐵性、混合的3d-5d化合物、拓?fù)洳牧虾头瞧胶鈶B(tài)。

1998年，他獲得南京大學(xué)的博士學(xué)位，并榮獲2000年國家優(yōu)秀博士學(xué)位論文獎。

五十年未解的數(shù)學(xué)難題，被AI解決了

在凝聚態(tài)物理、材料科學(xué)、量子信息學(xué)和微電子學(xué)等研究領(lǐng)域中，發(fā)現(xiàn)新的相和相變是一個(gè)核心挑戰(zhàn)。

挫敗磁體中存在許多不尋常的相，這些磁體通常用伊辛模型（Ising model）或量子海森堡模型（quantum Heisenberg model）來描述。

統(tǒng)計(jì)力學(xué)的第三個(gè)基本模型是q狀態(tài)Potts模型。

它是伊辛模型（q=2）的推廣，可以作為研究從離散（伊辛）對稱性到連續(xù)（海森堡）對稱性轉(zhuǎn)變的有效中介。

特別是，一維J_1-J_2 Potts模型可能與眾多問題相關(guān)，這些問題涵蓋了從層狀材料中原子或電子有序的面外堆疊，如1T-TaS_2 中的「大衛(wèi)之星」電荷密度波，到每個(gè)時(shí)間步都有多種選擇的時(shí)間序列問題，如乒乓球訓(xùn)練設(shè)計(jì)。

1T-TaS2中的「大衛(wèi)之星」電荷密度波相關(guān)論文插圖

一維J_1-J_2 Potts模型

盡管一維和二維的J_1-J_2伊辛模型和海森堡模型已被廣泛研究，但只有一維J_1-J_2伊辛模型通過轉(zhuǎn)移矩陣法得到了精確解。

對于一維J_1-J_2 Potts模型，至今仍沒有精確的解析解。

因?yàn)楫?dāng)q=3時(shí)，該模型已經(jīng)展現(xiàn)出與q=2（即伊辛模型）不同的基態(tài)相行為（見下圖），因此精確求解任意q的模型具有基礎(chǔ)性的重要性。

伊辛模型：不同的基態(tài)相行為

挑戰(zhàn)在于轉(zhuǎn)移矩陣的階數(shù)迅速增加，階數(shù)為q^2。

可想而知，q=3時(shí)的9×9矩陣已經(jīng)很難進(jìn)行解析求解，而q=10^10時(shí)的10^10×10^10矩陣，即使是數(shù)值計(jì)算也無能為力。

先前的研究將任務(wù)轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算有效的q×q矩陣，采用整數(shù)q形式的轉(zhuǎn)移矩陣法，或連續(xù)q形式的轉(zhuǎn)移矩陣。

盡管物理學(xué)的透明度較低，但仍然無法得到精確的解析結(jié)果。

因此，對于一維J_1-J_2 Potts模型，至今仍然缺乏其中豐富相行為的直觀理解。

OpenAI o3-mini的創(chuàng)舉：非平凡證明

最近的兩個(gè)發(fā)展為這一長期未解問題提供了新的視角。

第一個(gè)發(fā)展是通過基于對稱性的塊對角化，將裝飾伊辛梯形的4×4轉(zhuǎn)移矩陣簡化為有效的2×2矩陣。

這些發(fā)現(xiàn)為一維挫敗Potts模型找到精確解，可能成為這一重要新方向的里程碑。

第二個(gè)發(fā)展是OpenAI最新的推理模型o3-mini-high，推導(dǎo)出了一個(gè)優(yōu)雅的方程，在外部磁場下，可以確定裝飾伊辛模型中UNPC的臨界溫度。

論文鏈接：https://arxiv.org/abs/2502.11270

因此，作者受到啟發(fā)，逐步提示AI推理模型，去處理整數(shù)q形式的轉(zhuǎn)移矩陣。

盡管AI的回答中有不少錯(cuò)誤，針對q=3的情況，最終找到了一種基于對稱性的塊對角化方法，可以將一維J_1-J_2三狀態(tài)Potts模型的9×9轉(zhuǎn)移矩陣解析地簡化為有效的2×2矩陣。

對于一般的q，關(guān)鍵的對稱性是q個(gè)Potts狀態(tài)的全排列對稱性。

換句話說，哈密頓量（因此在整數(shù)q形式中的轉(zhuǎn)移矩陣）在任何對標(biāo)簽{1,2,3,...,q}的排列下都是不變的；它的對稱群是Sq。

雖然AI未能進(jìn)一步推進(jìn)，但警告說隨著q的增大，排列的數(shù)量急劇增加。

然而，q=2和q=3的精確結(jié)果，特別是兩者都?xì)w結(jié)為2×2矩陣，啟發(fā)了作者：

由于在熱力學(xué)極限下只有轉(zhuǎn)移矩陣的最大特征值（λ）才重要，因此任務(wù)簡化為識別包含λ的對稱分離子空間。

隨后，作者發(fā)現(xiàn)這個(gè)子空間由兩個(gè)最大對稱向量張成，因?yàn)樗修D(zhuǎn)移矩陣元素都是正的，這使得最終得到了一個(gè)解析的2×2矩陣。

因此，任意q的一維J_1-J_2 Potts模型的精確解，就這樣被找到了，而且過程出奇的簡單！

o3-mini-high具體起了什么作用

下面我們就來看看，o3-mini-high是如何在這項(xiàng)研究中推導(dǎo)出關(guān)鍵方程，對q=3的情況精確求解，從而確定了裝飾伊辛模型中UNPC的臨界溫度的。

首先，o3-mini-high證明，根據(jù)其知識，1D J_1-J_2 Potts模型尚未被精確求解。

接著，模型被提示使用1D J_1-J_2三態(tài)Potts模型的之字形梯形版本。

在這種情況下，AI正確地給出了以下哈密頓量表達(dá)式：

隨后，AI正確地生成了以下傳遞矩陣的表達(dá)式。

其中，(a, b)是由一對自旋組成的「梯級」?fàn)顟B(tài)，(a', b')是鄰近梯級狀態(tài)。

假設(shè)一組梯級狀態(tài)按以下順序排列：(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)。

若使用簡寫符號，則傳遞矩陣可以明確地表達(dá)為如下形式。

對于上面這個(gè)T'矩陣，AI被提示說，一定要確保，從而糾正它的錯(cuò)誤，并且識別出S_3的對稱群。

然后，AI被提示將T'進(jìn)行塊對角化。

它發(fā)現(xiàn)，T'可以通過變換下列這個(gè)矩陣來進(jìn)行塊對角化，從而得到。

因此，得到的塊對角化傳遞矩陣的前2×2塊由

給出，其較大的特征值是λ，即傳遞矩陣T'的最大特征值。

最后，AI被提示生成上述對話的原生Wolfram Mathematica 14.2代碼。

這個(gè)任務(wù)在幾秒鐘內(nèi)就完成了，幾乎不需要修正。

然而，AI卻未能生成適用于一般q的可用Mathematica代碼。

相反，它警告說，隨著q的增加，S_q對稱群中的排列數(shù)會急劇增加。

當(dāng)被進(jìn)一步要求時(shí)，AI創(chuàng)建了一些假M(fèi)athematica函數(shù)，并表示「這些函數(shù)可能值得實(shí)現(xiàn)」。

五十年數(shù)學(xué)難題的精確解

考慮以下哈密頓量[圖1（a）]：

為了構(gòu)建轉(zhuǎn)移矩陣，研究者使用了重疊對的形式化方法來處理方程（1），每個(gè)單位格有一個(gè)自旋，得到轉(zhuǎn)移矩陣T。

同時(shí)使用該模型的等效鋸齒梯形表示，其中每個(gè)單位格有兩個(gè)自旋來獲得T′。

而且要滿足T′=T^2。

在熱力學(xué)極限N→∞時(shí)，配分函數(shù)為

其中λ是轉(zhuǎn)移矩陣T的最大特征值。

每個(gè)自旋的自由能由下式給出：

其中，β=1/(k_BT)，T是絕對溫度，k_B是玻爾茲曼常數(shù)。

由此得到的變換矩陣是一個(gè)q^2×2矩陣，它將q^2×q轉(zhuǎn)移矩陣T投影到與其余部分解耦的2×2塊矩陣T_2，并且該矩陣由于不同的對稱性，得到如下方程4：

需要注意的是，最大對稱子空間意味著u、v和w的表達(dá)式可以通過組合分析直接得到。

轉(zhuǎn)移矩陣T的最大特征值是T_2的較大特征值，為

方程（4）的簡潔性為理解一維J_1-J_2 Potts模型中的豐富相行為提供了直觀的視角。

圖1:（a）單鏈J_1?J_2 Potts模型的示意圖和（b）其等效的鋸齒梯形表示。圖中的小球代表具有q個(gè)狀態(tài)的自旋。橙色的鍵表示最近鄰相互作用J_1，綠色的鍵表示次近鄰相互作用J_2

Potts模型的歷史性進(jìn)展

為了深入理解這些豐富的相圖，首先分析基態(tài)的相行為。

在T=0時(shí)，對于所有q值，一維J_1-J_2 Potts模型有三個(gè)相，這些相由兩個(gè)臨界點(diǎn)（CPs）分開，這些臨界點(diǎn)由方程（4）中u、w、v的相對大小決定。

對于q=2（即伊辛模型），與q≥3情況有兩個(gè)方面的不同：

（1）q=2的兩個(gè)臨界點(diǎn)是對稱相關(guān)的，位于J_1=±2，而對于q≥3，它們位于J_1=0和J_1=2。  

（2）對于q=2，三個(gè)相沒有宏觀的簡并性，而對于q≥3，存在一個(gè)或兩個(gè)具有殘余熵的非平凡狀態(tài)。

圖3總結(jié)了左側(cè)和中間相以及兩個(gè)臨界點(diǎn)（CPs）殘余熵的q依賴關(guān)系。

對于小的q，臨界點(diǎn)的殘余熵（虛線）明顯大于相鄰相的殘余熵（實(shí)線）。

因此，每個(gè)臨界點(diǎn)在J_1?T相圖中隨著溫度升高發(fā)展出V形區(qū)域（圖2左，q=2,3,4）。

兩個(gè)臨界點(diǎn)的V形區(qū)域匯聚在一起，形成一個(gè)類似T_c圓頂?shù)膮^(qū)域，代表q≥3的中間隨機(jī)二聚化相。

當(dāng)系統(tǒng)靠近臨界點(diǎn)時(shí)，它并不遵循常規(guī)的現(xiàn)象——即轉(zhuǎn)變到具有更高宏觀簡并性的相，而是轉(zhuǎn)變到臨界點(diǎn)發(fā)展的V形區(qū)域，這也在熵的T曲線中表現(xiàn)為平坦區(qū)域（圖2右q=2,3,4），此時(shí)熵值等于對應(yīng)臨界點(diǎn)的殘余熵。

圖2：q=2,3,4和10^6的相圖

圖2左：在J_1?T平面上，歸一化熵2S(J_1,T)/ln(q)的密度圖。

圖2右：在臨界點(diǎn)附近，選定J_1值的2S(J_1,T)/ln(q)的溫度依賴性。?J_2=1被設(shè)定為能量單位。

另一方面，圖3顯示，對于大的q，臨界點(diǎn)的殘余熵（虛線）趨近于其相鄰相的殘余熵（實(shí)線），最終變得無法區(qū)分——不再有V形的臨界點(diǎn)區(qū)域（圖2左，q=10^6）。

圖3：對于q≥3，在J_1的四個(gè)不同區(qū)域下，零溫度歸一化熵2S(J_1,0)/ln?q的依賴關(guān)系

當(dāng)系統(tǒng)靠近相邊界時(shí)，它似乎遵循常規(guī)的現(xiàn)象，即轉(zhuǎn)變到具有更高宏觀簡并性的相。

特別是，當(dāng)J_1>2時(shí)，低溫鐵磁相將經(jīng)歷一個(gè)兩步的相交叉：首先轉(zhuǎn)變到中間的隨機(jī)二聚化相，然后轉(zhuǎn)變到左側(cè)的順磁相。

Tc圓頂是非常規(guī)超導(dǎo)性（如銅氧化物、鐵基超導(dǎo)體、扭曲雙層石墨烯等）中的一個(gè)關(guān)鍵現(xiàn)象。

它已被解釋為（i）一種預(yù)形成的有序狀態(tài)，隨著相位相干性的逐漸建立，或（ii）兩種競爭相的結(jié)果。

目前通過q依賴性出現(xiàn)和消失的類似圓頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)，這一結(jié)構(gòu)由相的兩個(gè)臨界點(diǎn)的殘余熵的相對強(qiáng)度控制，為形成圓頂形相提供了另一種可能性。

AI輔助科學(xué)研究，潛力巨大

總而言之，用簡單的話概括就是，一維J_1-J_2 q狀態(tài)Potts模型得到了精確解，其中的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)q^2×q^2轉(zhuǎn)移矩陣的最大特征值位于一個(gè)2×2的最大對稱子空間。

而且維J_1-J_2 q狀態(tài)Potts模型被證明與一維q狀態(tài)Potts模型等價(jià)，其中J_2充當(dāng)最近鄰（NN）相互作用，J_1充當(dāng)磁場。

模型的基態(tài)被發(fā)現(xiàn)包含三個(gè)相，這些相由兩個(gè)臨界點(diǎn)分開，對于所有q值均如此。

兩個(gè)臨界點(diǎn)的殘余熵的相對強(qiáng)度，隨著q變大而變大。

對于小q和大q出現(xiàn)和消失的類似圓頂?shù)碾S機(jī)二聚化相，新研究提供了一種新的形成圓頂形相的機(jī)制。

而這項(xiàng)研究之所以能完成，都是基于o3-mini-high精確解決了q=3的情況。

這也提示我們，AI提供的廣泛信息中，能給研究者提供充分的洞察和激勵，盡管它的結(jié)論可能并不完美。

就在最近，諾獎得主、GoogleDeepMind CEO Demis Hassabis 評論AlphaFold時(shí)這樣表示：通過AI，人類現(xiàn)在可以在一年內(nèi)完成10億年的博士研究時(shí)間。

可以想見，未來AI輔助做出的科研突破還將層出不窮。