1900年，數(shù)學(xué)大師希爾伯特提出23個(gè)數(shù)學(xué)難題，其中第六個(gè)問(wèn)題——“物理學(xué)的公理化”，被稱為數(shù)學(xué)物理的終極挑戰(zhàn)。

125年后，北大校友鄧煜、中科大少年班馬驍與陶哲軒高徒扎赫爾?哈尼終于在這一問(wèn)題上取得重大突破。

在20世紀(jì)，關(guān)于第六問(wèn)題，希爾伯特追問(wèn)：

能否像歐幾里得幾何一樣，為物理學(xué)構(gòu)建嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)？

因涉及從微觀粒子動(dòng)力學(xué)到宏觀連續(xù)介質(zhì)的多尺度關(guān)聯(lián)，這個(gè)問(wèn)題證明起來(lái)非常困難。

在微觀層面，氣體由無(wú)數(shù)粒子組成，單個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)服從牛頓力學(xué)（時(shí)間可逆）。

在宏觀層面，氣體的統(tǒng)計(jì)行為由玻爾茲曼方程描述（時(shí)間不可逆，趨向熵增）。

如何從可逆的微觀規(guī)律，演化出不可逆的宏觀行為？

125年來(lái)，無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家在此領(lǐng)域折戟沉沙。

愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論、量子力學(xué)的數(shù)學(xué)框架雖部分實(shí)現(xiàn)了公理化愿景，但微觀與宏觀定律間的邏輯鴻溝始終未被彌合。

終于，三位數(shù)學(xué)家撕開了這道世紀(jì)難題的一角。

他們成功從微觀粒子模型推導(dǎo)出宏觀氣體行為，填補(bǔ)了牛頓力學(xué)與玻爾茲曼方程之間的邏輯鴻溝。

首次嚴(yán)格證明了從牛頓力學(xué)到玻爾茲曼方程的完整過(guò)渡，不僅為統(tǒng)計(jì)力學(xué)奠定了更堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，更意外地解答了玻爾茲曼時(shí)代遺留的“時(shí)間箭頭之謎”。

核心突破

該問(wèn)題的核心目標(biāo)是從彈性碰撞的硬球粒子系統(tǒng)出發(fā)，嚴(yán)格推導(dǎo)出流體力學(xué)的基本偏微分方程，完成希爾伯特第六問(wèn)題中從原子論到連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)定律的推導(dǎo)程序。

解決該問(wèn)題要分兩步走，先通過(guò) “動(dòng)力學(xué)極限” 從牛頓定律推導(dǎo)出玻爾茲曼方程，再通過(guò) “流體動(dòng)力學(xué)極限” 從玻爾茲曼方程推導(dǎo)出流體方程。

從牛頓到玻爾茲曼——“動(dòng)力學(xué)極限”

考慮直徑為ε的N個(gè)硬球粒子組成的系統(tǒng)，當(dāng)N趨于無(wú)窮大、ε趨于0時(shí)（稱為Boltzmann-Grad極限），證明粒子系統(tǒng)的單粒子密度可由玻爾茲曼方程描述。

鄧煜和哈尼最初專注于波系統(tǒng)研究（如光線傳播），曾在分析波的微觀到介觀過(guò)渡時(shí)，開發(fā)出分解復(fù)雜波動(dòng)模式為簡(jiǎn)單子模式的數(shù)學(xué)工具。

他們通過(guò) “逐次近似法”，將多個(gè)波的相互作用拆解為兩兩或三三波的局部作用，從而簡(jiǎn)化概率計(jì)算。

轉(zhuǎn)向粒子系統(tǒng)后，他們發(fā)現(xiàn)粒子碰撞與波的干涉本質(zhì)不同

• 波可疊加穿透，而粒子碰撞后會(huì)改變軌跡，導(dǎo)致碰撞順序和次數(shù)直接影響結(jié)果（如多次碰撞可能引發(fā) “蝴蝶效應(yīng)”）。
• 需重新設(shè)計(jì)方法以追蹤粒子碰撞后的軌跡變化，避免因軌跡復(fù)雜性導(dǎo)致的計(jì)算爆炸。

于是，團(tuán)隊(duì)從無(wú)限空間氣體模型入手（粒子最終離散，碰撞次數(shù)有限），而非直接挑戰(zhàn) “盒子環(huán)境中粒子無(wú)限碰撞” 的難題，降低初始研究復(fù)雜度。

在無(wú)限空間中證明 “玻爾茲曼方程可由牛頓模型推導(dǎo)” 后，三人將技術(shù)遷移至周期性邊界條件的盒子環(huán)境（粒子碰撞盒壁后從對(duì)側(cè)重生，模擬無(wú)限空間）。

通過(guò)傅里葉變換將盒子環(huán)境中的粒子軌跡轉(zhuǎn)換為無(wú)限空間的虛擬軌跡疊加，從而復(fù)用無(wú)限空間中的碰撞模式分析方法，證明盒子環(huán)境中碰撞頻率與無(wú)限空間等效，且多次碰撞概率仍可忽略。

這一階段的研究證明了牛頓粒子模型在無(wú)限空間和盒子環(huán)境中，均可推導(dǎo)出玻爾茲曼方程（描述分子速度分布），解決了希爾伯特第六問(wèn)題中 “最困難的邏輯斷層”。

從玻爾茲曼到流體方程——“流體動(dòng)力學(xué)極限”

當(dāng)玻爾茲曼方程中的碰撞率α趨于無(wú)窮大時(shí)，其解趨近于局部麥克斯韋分布，對(duì)應(yīng)宏觀流體參數(shù)（密度ρ、速度u、溫度T）。

團(tuán)隊(duì)在這一階段具體推導(dǎo)出了：

• 不可壓縮納維-斯托克斯-傅里葉方程組，描述流體的速度和密度演化。
• 可壓縮歐拉方程，描述流體的密度、速度和溫度的宏觀運(yùn)動(dòng)。

在從介觀到宏觀的研究進(jìn)程中，數(shù)學(xué)家們的目標(biāo)是證明描述分子層面行為的玻爾茲曼方程，能夠推導(dǎo)出描述宏觀流體運(yùn)動(dòng)的納維-斯托克斯方程。

為此，他們引入克努森數(shù)來(lái)衡量氣體的稀薄程度，判斷氣體更符合哪種方程的適用條件。

借助Chapman-Enskog展開法，科學(xué)家們把分子分布函數(shù)拆解成不同層級(jí)，逐步分析其中的變化。

在這個(gè)過(guò)程中，他們利用玻爾茲曼方程中碰撞滿足質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒的特性，推導(dǎo)出宏觀的守恒定律。

同時(shí)，通過(guò)熵增原理，將分子層面的變化與宏觀流體的能量損耗建立聯(lián)系。

經(jīng)過(guò)多年研究，數(shù)學(xué)家們證明了在特定條件下，玻爾茲曼方程的解會(huì)逐漸趨近于納維-斯托克斯方程的解。

不過(guò)，這種推導(dǎo)也有局限性，只適用于接近平衡狀態(tài)的情況，對(duì)于復(fù)雜的湍流現(xiàn)象還無(wú)法完全解釋。

鄧煜、哈尼和馬驍三位數(shù)學(xué)家在完成微觀到介觀的推導(dǎo)后，結(jié)合前人在介觀到宏觀領(lǐng)域的成果，最終形成了形成“牛頓力學(xué)→統(tǒng)計(jì)力學(xué)→流體力學(xué)”的完整邏輯鏈。

用數(shù)學(xué)方法嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明了氣體在不同尺度下的物理規(guī)律之間的聯(lián)系。

這項(xiàng)工作不僅標(biāo)志著希爾伯特第六問(wèn)題得到重大突破，還提供了一種對(duì)古老悖論嚴(yán)格的數(shù)學(xué)解決方案。

微觀層面粒子遵循牛頓定律，時(shí)間可逆，而介觀和宏觀層面的玻爾茲曼方程與納維-斯托克斯方程時(shí)間不可逆，這一矛盾曾令玻爾茲曼同時(shí)代人困惑。

玻爾茲曼認(rèn)為雖單個(gè)粒子時(shí)間可逆，但幾乎所有碰撞模式最終使氣體擴(kuò)散，時(shí)間不可逆。

蘭福德在極短時(shí)間范圍內(nèi)從數(shù)學(xué)上證實(shí)此直覺(jué)，如今三位數(shù)學(xué)家的成果在更現(xiàn)實(shí)情況下進(jìn)一步確認(rèn)，從數(shù)學(xué)角度解決了這一古老悖論。

三位數(shù)學(xué)家

鄧煜本科由北大轉(zhuǎn)學(xué)到麻省理工學(xué)院取得數(shù)學(xué)學(xué)士學(xué)位，博士畢業(yè)于美國(guó)普林斯頓大學(xué)。

現(xiàn)任芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授，他的研究方向聚焦于數(shù)學(xué)物理與非線性偏微分方程。

2006年，他和柳智宇（那位下山還俗的北大數(shù)院天才）等一同獲得了國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽IMO的金牌，2024年獲ICBS數(shù)學(xué)前沿獎(jiǎng)。

另一位華人數(shù)學(xué)家馬驍于2014年考入中科大少年班，2015學(xué)年被華羅庚數(shù)學(xué)科技英才班錄取，是普林斯頓大學(xué)博士，現(xiàn)為密歇根大學(xué)助理教授。

而本項(xiàng)工作的另一位數(shù)學(xué)家扎赫爾?哈尼（Zaher Hani）則是陶哲軒高徒。

他于2011年在UCLA獲得博士學(xué)位，博士論文是在陶哲軒的指導(dǎo)下完成的。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2503.01800