生成模型已成為人工智能領(lǐng)域的關(guān)鍵突破，賦予機(jī)器創(chuàng)建高度逼真的圖像、音頻和文本的能力。在眾多生成技術(shù)中，擴(kuò)散模型和Flow Matching尤為引人注目。這兩種方法雖然都致力于在噪聲與結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)之間建立轉(zhuǎn)換，但其基礎(chǔ)原理存在本質(zhì)區(qū)別。本文將系統(tǒng)地比較這兩種先進(jìn)技術(shù)，深入探討其數(shù)學(xué)原理、實(shí)際應(yīng)用及理論解釋。

基本原理

在深入數(shù)學(xué)分析前，有必要從直觀層面理解這兩種方法的核心概念：

擴(kuò)散模型系統(tǒng)性地向數(shù)據(jù)添加噪聲，直至將其轉(zhuǎn)化為純粹的隨機(jī)噪聲，然后學(xué)習(xí)此過程的逆向轉(zhuǎn)換。這一過程可類比為將照片逐步溶解至完全模糊狀態(tài)，隨后從模糊中重建原始影像的過程。

Flow Matching則構(gòu)建噪聲分布與數(shù)據(jù)分布間的連續(xù)路徑（流）。這一過程可類比為定義一種平滑的轉(zhuǎn)換計(jì)劃，使隨機(jī)噪聲逐漸形成有結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)，如同觀察一塊黏土從無序狀態(tài)被塑造成精細(xì)雕像的過程。

擴(kuò)散模型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

前向過程

擴(kuò)散模型定義了一個(gè)前向過程，該過程在 T 個(gè)時(shí)間步長內(nèi)有序地向數(shù)據(jù) x_0 添加高斯噪聲：

其中

且 \alpha_t \in (0, 1) 表示噪聲調(diào)度參數(shù)。

此過程可通過隨機(jī)微分方程(SDE)表示：

其中 W_t 代表標(biāo)準(zhǔn)維納過程（布朗運(yùn)動），f(x_t, t) 為漂移系數(shù)，g(t) 為擴(kuò)散系數(shù)。

經(jīng)過充分的擴(kuò)散步驟，x_T 將近似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 \mathcal{N}(0, I)，原始數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)信息基本完全消散。

反向過程

擴(kuò)散模型的核心在于學(xué)習(xí)逆轉(zhuǎn)噪聲添加過程，通過從隨機(jī)噪聲開始并迭代去噪來生成新數(shù)據(jù)。

反向過程定義為：

在實(shí)際應(yīng)用中，諸如DDPM（去噪擴(kuò)散概率模型）等模型針對每一時(shí)間步預(yù)測噪聲分量 \epsilon_\theta(x_t, t)，進(jìn)而推導(dǎo)出 \mu_\theta(x_t, t)。

訓(xùn)練目標(biāo)

擴(kuò)散模型的訓(xùn)練目標(biāo)通常基于負(fù)對數(shù)似然的變分上界：

實(shí)踐中，這一目標(biāo)函數(shù)常簡化為經(jīng)重新加權(quán)的均方誤差：

Flow Matching 的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

連續(xù)歸一化流與速度場

Flow Matching建立在連續(xù)歸一化流(CNF)的理論之上，CNF通過微分方程將一個(gè)概率分布轉(zhuǎn)換為另一個(gè)：

其中 v_\theta 表示可學(xué)習(xí)的速度場。

速度場的理解

速度場是一個(gè)為時(shí)空中每個(gè)點(diǎn)分配速度向量的函數(shù)，可類比為風(fēng)向圖，指示了粒子在任一位置應(yīng)移動的方向與速度。在生成模型語境下：

數(shù)學(xué)定義：速度場

為時(shí)間 t 的每個(gè)點(diǎn) x 分配一個(gè)向量 v。

物理理解：可想象為河流中任一點(diǎn)的水流方向與強(qiáng)度，決定了漂浮物體的運(yùn)動軌跡。

變換特性：通過從 t=0 到 t=1 追蹤速度場，可以得到樣本從源分布（通常為噪聲）到目標(biāo)數(shù)據(jù)分布的轉(zhuǎn)換路徑。

速度場具有以下關(guān)鍵特性，使其成為生成建模的有力工具：

• 確定性路徑：從給定起點(diǎn)追蹤速度場會產(chǎn)生確定性軌跡
• 可逆性：通過反轉(zhuǎn)速度向量可實(shí)現(xiàn)過程的逆向運(yùn)行
• 概率質(zhì)量守恒：連續(xù)性方程確保轉(zhuǎn)換過程中概率質(zhì)量既不創(chuàng)生也不消失

速度場可視化可理解為網(wǎng)格上每點(diǎn)的方向矢量：

↑ ↗ → ↗ ↑
 ↖ ↑ ↑ → ↗
 ← ↙ ↑ ↑ →
 ↙ ↓ ↓ ↗ ↑
 ↓ ↙ ← ← ↑

在Flow Matching中，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)預(yù)測給定位置和時(shí)間的速度向量，該網(wǎng)絡(luò)經(jīng)訓(xùn)練以匹配定義分布間所需流的參考向量場。

概率流ODE

概率密度在流下的演化遵循連續(xù)性方程：

這一方程確保了變換過程中的質(zhì)量守恒。

Flow Matching原理

Flow Matching的關(guān)鍵創(chuàng)新在于直接監(jiān)督速度場 v_\theta，利用預(yù)定義的分布間路徑。此方法避開了從復(fù)雜的概率流方程推導(dǎo)速度場，而是直接約束速度場匹配參考向量場 u(x,t)，后者定義了樣本的移動方式：

其中 x(t) 從路徑分布 p_t(x) 采樣，該分布在噪聲分布 p_0(x) 與數(shù)據(jù)分布 p_1(x) 間插值。

條件Flow Matching

條件Flow Matching (CFM)作為重要擴(kuò)展，構(gòu)建了各數(shù)據(jù)點(diǎn)與噪聲樣本間的路徑：

其中

定義了噪聲 z 和數(shù)據(jù) x_0 之間的路徑，

控制路徑噪聲水平。

主要差異分析

路徑定義

擴(kuò)散模型通過添加高斯噪聲定義固定的隨機(jī)路徑。前向過程由預(yù)設(shè)的噪聲調(diào)度確定，模型學(xué)習(xí)逆轉(zhuǎn)這一特定過程。

Flow Matching則允許在分布間設(shè)計(jì)靈活路徑。這些路徑可為直線、曲線軌跡，甚至可動態(tài)學(xué)習(xí)，提供更大的設(shè)計(jì)自由度。

訓(xùn)練動態(tài)

擴(kuò)散模型通常需要估計(jì)復(fù)雜的概率密度或其替代量，導(dǎo)致訓(xùn)練過程更具挑戰(zhàn)性，且對噪聲調(diào)度的精確設(shè)計(jì)有較高依賴。

Flow Matching直接監(jiān)督速度場，形成更簡潔的均方誤差目標(biāo)，訓(xùn)練過程通常更為穩(wěn)定。

采樣效率

擴(kuò)散模型傳統(tǒng)上需要較多采樣步驟（通常1000步以上），盡管DDIM等技術(shù)已有所改進(jìn)。

Flow Matching通常可利用高階ODE求解器，以較少步驟(10-100步)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量采樣。

理論保證

擴(kuò)散模型與基于分?jǐn)?shù)的生成模型有深厚聯(lián)系，并提供明確的似然界限。

Flow Matching在特定條件下對精確密度匹配提供保證，為優(yōu)化概率流ODE提供更直接路徑。

數(shù)值示例：轉(zhuǎn)換簡單分布

考慮將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為雙峰高斯混合分布的具體案例。

擴(kuò)散方法

在擴(kuò)散方法中，流程如下：

1. 從目標(biāo)分布（高斯混合）出發(fā)
2. 按照調(diào)度 \beta_t 逐步添加噪聲
3. 訓(xùn)練模型預(yù)測每步噪聲
4. 通過從純噪聲開始并迭代去噪進(jìn)行采樣

對于一維示例，設(shè)定 T=10 步和線性噪聲調(diào)度 \beta_t = 0.1，前向過程為：

反向過程估計(jì)：

Flow Matching方法

Flow Matching方法流程為：

• 定義分布間路徑，例如線性插值：

• 推導(dǎo)或定義誘導(dǎo)該路徑的速度場 u(x, t)
• 訓(xùn)練模型預(yù)測此速度場
• 通過求解ODE：dx/dt = v_\theta(x, t) 從噪聲采樣到數(shù)據(jù)

對于簡單示例，假設(shè)直線路徑，速度場可表示為：

其中 z 為噪聲樣本，x_0 為數(shù)據(jù)樣本。

實(shí)踐實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用

擴(kuò)散模型的實(shí)踐

具有代表性的擴(kuò)散模型實(shí)現(xiàn)包括：

• DDPM (去噪擴(kuò)散概率模型)：奠定基礎(chǔ)的先驅(qū)模型
• DDIM (去噪擴(kuò)散隱式模型)：通過確定性過程加速采樣
• Stable Diffusion：應(yīng)用于潛在空間提升圖像生成效率
• Imagen與DALL-E 2：基于擴(kuò)散原理的文本到圖像生成系統(tǒng)

實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵代碼示例：

# filepath: example.py
# Simplified DDPM training loop
def train_step(self, x_0, optimizer):
    """Single training step for diffusion model"""
    batch_size = x_0.shape[0]

    # Sample random timesteps
    t = torch.randint(0, self.n_timesteps, (batch_size,), device=self.device, dtype=torch.long)

    # Add noise to data
    x_t, noise = self.q_sample(x_0, t)

    # Predict noise
    predicted_noise = self.model(x_t, t / self.n_timesteps)

    # Compute loss
    loss = F.mse_loss(noise, predicted_noise)

    # Update parameters
    optimizer.zero_grad()
    loss.backward()
    optimizer.step()

     return loss.item()

Flow Matching的實(shí)踐

代表性Flow Matching實(shí)現(xiàn)包括：

• 條件Flow Matching (CFM)：高效訓(xùn)練生成建模的神經(jīng)ODE
• 一致性模型(Consistency Models)：融合Flow Matching與擴(kuò)散原理
• SiT (Score in Time)：將擴(kuò)散模型重構(gòu)為插值匹配框架

實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵代碼示例：

# filepath: example.py
# Simplified Flow Matching training loop
def train_step(self, x_0, optimizer):
    """Single training step for flow matching"""
    batch_size = x_0.shape[0]

    # Sample random timesteps
    t = torch.rand(batch_size, device=self.device)

    # Sample noise points
    z = torch.randn_like(x_0)

    # Get path points and target velocities
    x_t, target_v = self.sample_path_point(x_0, z, t.unsqueeze(-1))

    # Predict velocity vectors
    predicted_v = self.model(x_t, t)

    # Compute loss
    loss = F.mse_loss(predicted_v, target_v)

    # Update parameters
    optimizer.zero_grad()
    loss.backward()
    optimizer.step()

     return loss.item()

概念類比

擴(kuò)散模型：侵蝕與重建過程

擴(kuò)散模型可類比為海灘上沙堡的侵蝕與重建。前向過程如同潮水逐漸沖刷沙堡，直至形成平坦沙面；反向過程則是學(xué)習(xí)如何通過理解沙粒運(yùn)動規(guī)律，從平坦沙面重建精細(xì)結(jié)構(gòu)。

Flow Matching：矢量場導(dǎo)航

Flow Matching類似于空間導(dǎo)航系統(tǒng)，在任一位置提供指向目標(biāo)的方向矢量。無需遵循預(yù)設(shè)路線，學(xué)習(xí)的矢量場能從任意起點(diǎn)引導(dǎo)系統(tǒng)抵達(dá)目標(biāo)分布。

方法融合與發(fā)展

近期研究顯示擴(kuò)散模型與Flow Matching存在深層聯(lián)系：

• 概率流ODE：擴(kuò)散過程可轉(zhuǎn)換為類似Flow Matching的確定性O(shè)DE
• 基于分?jǐn)?shù)的方法：兩種方法可視為對數(shù)密度梯度（分?jǐn)?shù)函數(shù)）的不同參數(shù)化
• 插值匹配：統(tǒng)一框架下整合多種生成方法

計(jì)算效率比較

擴(kuò)散模型在采樣過程中通常需要更多的函數(shù)評估，導(dǎo)致計(jì)算成本相對較高。然而，這類模型可以使用相對簡化的架構(gòu)和損失函數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，在實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度方面具有一定優(yōu)勢。

Flow Matching則通過采用復(fù)雜的ODE求解器實(shí)現(xiàn)更高的采樣效率，但精確建模速度場可能需要更為復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)設(shè)計(jì)。兩種方法的計(jì)算效率取舍主要體現(xiàn)在采樣速度與模型復(fù)雜度之間的平衡。

樣本質(zhì)量分析

兩種方法均能達(dá)到先進(jìn)的樣本生成質(zhì)量，選擇應(yīng)基于具體應(yīng)用需求進(jìn)行評估。擴(kuò)散模型在處理高度結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)（如高分辨率圖像和復(fù)雜音頻）方面表現(xiàn)出色；而Flow Matching則在處理相對簡單的分布或?qū)Σ蓸铀俣扔袊?yán)格要求的場景中展現(xiàn)出明顯優(yōu)勢。實(shí)際應(yīng)用中，需權(quán)衡模型復(fù)雜度、訓(xùn)練穩(wěn)定性、采樣效率及質(zhì)量要求等多方面因素。

總結(jié)

擴(kuò)散模型與Flow Matching代表了生成建模領(lǐng)域的兩類重要技術(shù)范式，各自基于獨(dú)特的數(shù)學(xué)原理與實(shí)現(xiàn)策略。擴(kuò)散模型通過定義固定的隨機(jī)過程并學(xué)習(xí)其逆轉(zhuǎn)，而Flow Matching則直接學(xué)習(xí)能夠沿靈活路徑轉(zhuǎn)換分布的速度場。從某種意義上說，F(xiàn)low Matching保留了擴(kuò)散模型的核心優(yōu)勢，同時(shí)通過消除前向噪聲過程的限制實(shí)現(xiàn)了技術(shù)簡化。

深入理解這兩種方法間的差異與聯(lián)系，不僅有助于更全面把握生成建模的技術(shù)全貌，也為這一快速演進(jìn)領(lǐng)域的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)和研究方向。