在數(shù)學(xué)的世界里，想要對(duì)「一個(gè)未經(jīng)證實(shí)的猜想」進(jìn)行完整的證明，往往需要天賦、直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)的結(jié)合，即使是數(shù)學(xué)家也很難解釋自己的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。

然而，隨著近幾年大模型的崛起，我們共同見(jiàn)證了一種新的變革力量，AI不僅在預(yù)測(cè)橢圓曲線的復(fù)雜度上超越了人類，還在探索基本常數(shù)的新公式上取得了突破。

最近，倫敦?cái)?shù)學(xué)科學(xué)研究所所長(zhǎng)托馬斯·芬克 (Thomas Fink) 在Nature的world view欄目發(fā)布了一篇文章，探討了AI如何在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中發(fā)揮其獨(dú)特的作用，以及如何幫助數(shù)學(xué)家從猜想走向證明。

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文章鏈接：https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w

數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)的豐富性和獨(dú)特性為AI的訓(xùn)練提供了肥沃的土壤：從素?cái)?shù)到結(jié)理論，AI正在幫助我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的新聯(lián)系。

例如，通過(guò)在線整數(shù)序列百科全書(OEIS)，可以利用AI工具搜索近375,000個(gè)序列，尋找那些意想不到的關(guān)系，文中揭示了AI如何在數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)的海洋中航行，發(fā)現(xiàn)那些人類尚未觸及的寶藏。

不過(guò)，雖然AI在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用前景廣闊，但它并非萬(wàn)能。

正如G. H. Hardy在其1940年的論文《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯護(hù)》（A Mathematician’s Apology）中所言，一個(gè)好的定理應(yīng)當(dāng)是構(gòu)成諸多數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的組成部分。

AI可以幫助我們發(fā)現(xiàn)模式和形成猜想，但區(qū)分這些猜想的重要性則需要數(shù)學(xué)家的直覺(jué)和對(duì)領(lǐng)域發(fā)展的深刻理解。

作者探討了AI如何作為數(shù)學(xué)家創(chuàng)造力的催化劑，而非替代品，二者可以共同推動(dòng)、擴(kuò)展數(shù)學(xué)的邊界。

托馬斯·芬克 (Thomas Fink) 是倫敦?cái)?shù)學(xué)科學(xué)研究所的研究員，該研究所是一家從事物理和數(shù)學(xué)研究的非營(yíng)利機(jī)構(gòu)。他正在與 BHI 合作研究可修復(fù)性和重組創(chuàng)新等主題，其研究興趣主要包括離散動(dòng)力學(xué)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和生物學(xué)基本定律。

數(shù)學(xué)+AI

在2017年，倫敦?cái)?shù)學(xué)科學(xué)研究所的研究人員，其中包括我，作為所長(zhǎng)，開(kāi)始將機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)作為一種探索嘗試應(yīng)用于數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)分析，也標(biāo)志著人工智能（AI）開(kāi)始在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用展開(kāi)初步探索。

在COVID-19大流行期間，我們?nèi)〉昧艘粋€(gè)意外的發(fā)現(xiàn)：簡(jiǎn)單的AI分類器能夠預(yù)測(cè)橢圓曲線的秩（衡量橢圓曲線復(fù)雜性的一種方式）。

橢圓曲線是數(shù)論的基礎(chǔ)，克雷數(shù)學(xué)研究所曾經(jīng)在千禧年選出了七大數(shù)學(xué)難題，并為每個(gè)問(wèn)題提供了100萬(wàn)美元的獎(jiǎng)金，預(yù)測(cè)橢圓曲線就是解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵步驟，但在當(dāng)時(shí)幾乎沒(méi)人看好AI能在數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮作用。

2021年，研究人員設(shè)計(jì)的拉馬努金機(jī)為基本常數(shù)生成了新的公式，例如 π 和 e，模型通過(guò)詳盡地搜索連分?jǐn)?shù)族（families of continued fractions）來(lái)實(shí)現(xiàn)該算法，其中連分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)表示法，由無(wú)限多個(gè)分?jǐn)?shù)層疊構(gòu)成，每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母本身也是一個(gè)分?jǐn)?shù)，形成了一個(gè)分母鏈。

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論文鏈接：https://www.nature.com/articles/s41586-021-03229-4

拉馬努金機(jī)生成的一些公式已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明是正確的，為數(shù)學(xué)領(lǐng)域增添了新的知識(shí)點(diǎn)，但并非所有的公式都得到了證明，一些公式仍然是數(shù)學(xué)界面臨的未解決問(wèn)題，等待著未來(lái)的數(shù)學(xué)家和AI技術(shù)去探索和解決。

結(jié)理論（knot theory）是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)領(lǐng)域，主要研究的是線條或繩子在空間中如何被扭曲和打結(jié)。在這個(gè)領(lǐng)域中，我們通?？紤]一個(gè)理想化的繩子，它在兩端被粘接起來(lái)，形成一個(gè)封閉的環(huán)。

最近，谷歌DeepMind的研究人員利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，對(duì)各種不同的結(jié)進(jìn)行了數(shù)據(jù)分析，通過(guò)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)識(shí)別和理解結(jié)的模式。

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論文鏈接：https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

最令人驚訝的是，模型發(fā)現(xiàn)了結(jié)的代數(shù)性質(zhì)和幾何形狀之間存在一種之前尚不了解的聯(lián)系，也就意味著，通過(guò)數(shù)學(xué)的代數(shù)和幾何方法，我們能夠更深入地理解結(jié)的結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)，對(duì)于數(shù)學(xué)和物理學(xué)等領(lǐng)域的研究具有重要意義。

AI對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的影響

數(shù)學(xué)是一門精確的科學(xué)，不接受任何偶然性（concidence），與現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)驗(yàn)不同，數(shù)學(xué)中的一個(gè)反例就足以推翻一個(gè)猜想。

例如，Pólya猜想曾認(rèn)為，任何給定整數(shù)以下的大多數(shù)整數(shù)都有奇數(shù)個(gè)質(zhì)因數(shù)，但這個(gè)猜想在1960年被證明是錯(cuò)誤的，因?yàn)閿?shù)字906,180,359并不滿足這個(gè)條件，只需一個(gè)反例就被證偽了。

除此之外，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的數(shù)據(jù)獲取成本相對(duì)較低，因?yàn)閿?shù)學(xué)對(duì)象如質(zhì)數(shù)和結(jié)等是普遍存在的，例如，在線整數(shù)序列百科全書（OEIS）就收錄了近375,000個(gè)序列，從廣為人知的斐波那契序列到增長(zhǎng)速度極快的Busy Beaver序列，科學(xué)家們已經(jīng)開(kāi)始使用機(jī)器學(xué)習(xí)工具來(lái)搜索OEIS數(shù)據(jù)庫(kù)，尋找新的數(shù)學(xué)關(guān)系。

人工智能還可以幫助我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的模式，并提出新的猜想。

但并非所有的猜想都同等重要，一個(gè)好的猜想應(yīng)該能夠推動(dòng)我們對(duì)數(shù)學(xué)的理解，幫助我們構(gòu)建更多的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并在證明不同類型的定理中發(fā)揮作用。

然而，要區(qū)分哪些猜想更有價(jià)值，需要對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域本身的發(fā)展有深刻的直覺(jué)和理解，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展大局的把握，對(duì)于人工智能來(lái)說(shuō)，可能在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)都是難以實(shí)現(xiàn)的。

因此，盡管人工智能可以幫助我們發(fā)現(xiàn)模式和猜想，但在識(shí)別哪些猜想真正重要方面，它可能還有很長(zhǎng)的路要走。

盡管對(duì)人工智能在數(shù)學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用的擔(dān)憂存在，但AI的引入無(wú)疑為數(shù)學(xué)界帶來(lái)了積極的影響，不僅能為數(shù)學(xué)研究提供關(guān)鍵的優(yōu)勢(shì)，還能開(kāi)辟新的研究途徑，激發(fā)創(chuàng)新思維。

數(shù)學(xué)期刊應(yīng)當(dāng)增加對(duì)數(shù)學(xué)猜想的發(fā)表量。歷史上，許多重大的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如費(fèi)馬的最后定理、黎曼猜想等，以及許多不太為人所知的猜想，都極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展，這些猜想通過(guò)為研究者提供正確的研究方向，加速了數(shù)學(xué)研究的進(jìn)程。

因此，發(fā)表有關(guān)猜想的期刊文章，尤其是那些有數(shù)據(jù)支持或啟發(fā)性論證的文章，對(duì)于推動(dòng)科學(xué)發(fā)現(xiàn)具有重要意義。

以谷歌DeepMind的研究為例，去年他們預(yù)測(cè)了220萬(wàn)種可能的新型晶體結(jié)構(gòu)，但這些新材料的穩(wěn)定性、合成可能性以及實(shí)際應(yīng)用價(jià)值仍有待進(jìn)一步的驗(yàn)證和研究，目前該工作還主要依賴于人類研究人員的專業(yè)知識(shí)和對(duì)材料科學(xué)廣泛背景的理解。

此外，數(shù)學(xué)家們的想象力和直覺(jué)對(duì)于理解和解釋AI工具產(chǎn)生的結(jié)果至關(guān)重要。

AI在這一過(guò)程中起到的是促進(jìn)和激發(fā)人類創(chuàng)造力的作用，而不是取代人類，它更像是一個(gè)工具，幫助數(shù)學(xué)家們更快地探索未知領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)真理。

參考資料：

https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w