加法，這項(xiàng)我們從幼兒園就掌握的運(yùn)算，竟然蘊(yùn)藏著未解之謎。 

它是一項(xiàng)簡(jiǎn)單的運(yùn)算：我們學(xué)到的第一個(gè)數(shù)學(xué)真理便是 1 加 1 等于 2。但加法能夠產(chǎn)生的各種模式仍存在很多未解之謎。

在探索這個(gè)謎團(tuán)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家們也希望了解加法能力的極限。自 20 世紀(jì)初以來(lái)，他們一直在研究 「無(wú)和集」（sum-free set） 的性質(zhì)。 

無(wú)和集指的是這樣一個(gè)整數(shù)子集：其中任意兩個(gè)元素的和，不屬于這個(gè)集合本身。例如，奇數(shù)集合就是一個(gè)典型的無(wú)和集。因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)奇數(shù)相加得到偶數(shù)，不在集合內(nèi)。

自 1965 年起，傳奇數(shù)學(xué)家 Paul Erd?s（保羅?愛(ài)多士，為現(xiàn)時(shí)發(fā)表論文數(shù)最多的數(shù)學(xué)家，多達(dá) 1525 篇，曾和 511 人合寫(xiě)論文）在一篇論文中提出了一個(gè)關(guān)于無(wú)和集普遍性的簡(jiǎn)單問(wèn)題 ：一個(gè)整數(shù)集合中，最大的不含任意兩數(shù)相加結(jié)果的子集究竟能有多大？

此后數(shù)十年，這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題卻困住了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家。

直到今年二月，在 Erd?s 提出該問(wèn)題的六十年后，終于被牛津大學(xué)博士生 Benjamin Bedert 破解了。 

Bedert 證明了對(duì)于任意包含 N 個(gè)整數(shù)的集合，存在一個(gè)無(wú)和子集，其大小至少為 N/3 + log (log N)。 這一結(jié)果首次嚴(yán)格證明了最大無(wú)和子集的大小確實(shí)會(huì)超過(guò) N/3， 并隨 N 增長(zhǎng)而增大，從而解決了 Paul Erd?s 的猜想。 

他的證明深入數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過(guò)融合不同領(lǐng)域的技巧，不僅揭示了無(wú)和集的隱藏結(jié)構(gòu)，更為其他各類(lèi)數(shù)學(xué)場(chǎng)景提供了新見(jiàn)解。

Benjamin Bedert—— 這位牛津大學(xué)的博士生 —— 解決了一個(gè)困擾數(shù)學(xué)界數(shù)十年的難題，該難題從根本上檢驗(yàn)了加法在集合中的作用機(jī)制。

進(jìn)退維谷的證明過(guò)程

Erd?s 發(fā)現(xiàn)，任何整數(shù)集合都必然包含一個(gè)更小的無(wú)和子集。以集合 {1, 2, 3} 為例（它本身并非無(wú)和集，因?yàn)樗瑑蓚€(gè)數(shù)的和仍屬于該集合），其中就存在五個(gè)不同的無(wú)和子集，比如 {1} 和 {2, 3}。

這位數(shù)學(xué)大師試圖探究這一現(xiàn)象的普遍規(guī)模：如果一個(gè)集合包含一百萬(wàn)個(gè)整數(shù)，其最大無(wú)和子集的規(guī)模究竟有多大？

Paul Erd?s

在多數(shù)情況下，這個(gè)子集大得驚人。如果隨機(jī)選取一百萬(wàn)個(gè)整數(shù)，其中約半數(shù)會(huì)是奇數(shù) —— 這就能形成一個(gè)約 50 萬(wàn)元素的無(wú)和子集。

在 1965 年的論文中，Erd?s 用短短數(shù)行完成了一個(gè)被數(shù)學(xué)家們譽(yù)為天才之作的證明：任何包含 N 個(gè)整數(shù)的集合，都必然存在一個(gè)至少包含 N/3 個(gè)元素的無(wú)和子集。

然而他并不滿(mǎn)足于此。該證明基于平均值原理：他構(gòu)造了一系列無(wú)和子集，并計(jì)算出其平均規(guī)模為 N/3。但數(shù)學(xué)界普遍認(rèn)為，在這類(lèi)集合族中，最大子集的規(guī)模理應(yīng)遠(yuǎn)超平均值。

Erd?s 希望量化這些超大無(wú)和子集的具體規(guī)模。數(shù)學(xué)家們很快提出猜想：隨著集合規(guī)模 N 的增大，最大無(wú)和子集的尺寸將顯著超過(guò) N/3。更準(zhǔn)確地說(shuō)，其偏差值會(huì)無(wú)限增長(zhǎng)。這一預(yù)測(cè) —— 即最大無(wú)和子集的規(guī)模等于 N/3 加上一個(gè)隨 N 趨向無(wú)窮大的偏差項(xiàng) —— 如今被稱(chēng)為無(wú)和集猜想（sum-free sets conjecture）。

Erd?s 在原始論文中寫(xiě)道：這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題竟存在如此大的難度，實(shí)在令人驚訝 —— 或許我們忽略了某些顯而易見(jiàn)的解法。

然而數(shù)十年間，「顯而易見(jiàn)的解法」始終未曾浮現(xiàn)。無(wú)人能突破 Erd?s 證明的邊界?！高@個(gè)簡(jiǎn)單界限長(zhǎng)期無(wú)人能改進(jìn)，使得該問(wèn)題在學(xué)界的分量愈發(fā)凸顯。」Bedert 導(dǎo)師 Ben Green 指出。他特別強(qiáng)調(diào)，這類(lèi)問(wèn)題恰恰屬于極難取得任何實(shí)質(zhì)性突破的領(lǐng)域。

挑戰(zhàn) Erd?s 原始結(jié)論

25 年后取得新突破

在 Erd?s 原始結(jié)論沉寂 25 年后，數(shù)學(xué)家們終于開(kāi)始取得微小的進(jìn)展。1990 年，兩位研究者證明：對(duì)于任意包含 N 個(gè)整數(shù)的集合，都存在一個(gè)至少包含 N/3 + 1/3 個(gè)元素的無(wú)和子集 —— 這個(gè)結(jié)果更常見(jiàn)的形式寫(xiě)作 (N+1)/3。

但由于集合大小必須是整數(shù)，這 1/3 的增量往往微不足道。

舉例來(lái)說(shuō)，若已知某個(gè)無(wú)和子集至少有 5/3 個(gè)元素，實(shí)際意味著其規(guī)模至少為 2（ 5/3 約為 1.67，要向上取整 ）。此時(shí)即使加上 1/3，結(jié)果仍為 2?！高@很有趣，說(shuō)明改進(jìn)并不總是實(shí)質(zhì)性的，」加州理工學(xué)院的 David Conlon 解釋道，「只有當(dāng) N 能被 3 整除時(shí)，這個(gè)增量才會(huì)真正提升結(jié)果?！?/span>

1997 年，數(shù)學(xué)傳奇 Jean Bourgain 將這一界限小幅提升至 (N + 2)/3。這個(gè)看似微不足道的進(jìn)展背后，卻隱藏著驚人的突破 ——Bourgain 在論文中埋下了一個(gè)關(guān)鍵思想：如何證明最大無(wú)和子集的規(guī)模可以任意超越該界限。只是他未能完善細(xì)節(jié)，將其轉(zhuǎn)化為完整證明。

Jean Bourgain

Bourgain 運(yùn)用了一個(gè)稱(chēng)為 Littlewood 范數(shù)的度量工具，該工具能刻畫(huà)集合的結(jié)構(gòu)特征。這個(gè)源自傅里葉分析領(lǐng)域的工具具有顯著特性：當(dāng)集合呈現(xiàn)隨機(jī)性時(shí)取值較大，而呈現(xiàn)規(guī)律性結(jié)構(gòu)時(shí)取值較小。

Bourgain 證明：對(duì)于包含 N 個(gè)元素的集合，若其 Littlewood 范數(shù)較大，則必然存在規(guī)模遠(yuǎn)超 N/3 的無(wú)和子集。但他在處理 Littlewood 范數(shù)較小的集合時(shí)遭遇了瓶頸。

而這個(gè)困境恰恰凸顯了該問(wèn)題的極端難度。

最終 Bourgain 不得不改用其他論證方法才得出了 (N + 2)/3 的界限。但數(shù)學(xué)家們從中讀出了更深層的啟示：Littlewood 范數(shù)或許能徹底解決這個(gè)猜想 —— 關(guān)鍵在于如何攻克小范數(shù)集合的處理難題。

數(shù)學(xué)家們有理由保持樂(lè)觀：他們?cè)缫寻l(fā)現(xiàn)一類(lèi)具有小 Littlewood 范數(shù)卻包含巨大無(wú)和子集的集合 —— 等差數(shù)列（如 {5,10,15,20} 這類(lèi)間距均勻的數(shù)字序列）。學(xué)界推測(cè)，任何小范數(shù)集合都具有某種特定結(jié)構(gòu)，本質(zhì)上都是由多個(gè)等差數(shù)列組合而成。若能證實(shí)這一點(diǎn)，就能利用該特性證明所有小范數(shù)集合都存在大型無(wú)和子集。

然而這項(xiàng)任務(wù)異常艱巨?！肝掖_實(shí)嘗試過(guò)用 Bourgain 的思路來(lái)證明無(wú)和集猜想，」Green 坦言，「但我們對(duì)小 Littlewood 范數(shù)集合的結(jié)構(gòu)認(rèn)知仍然有限。凡是涉及 Littlewood 的問(wèn)題都極為棘手?！?/span>

盡管數(shù)學(xué)家們始終相信 Bourgain 基于 Littlewood 范數(shù)的策略，但進(jìn)展始終停滯不前。二十余年光陰流逝，直到 2021 年秋天，Benjamin Bedert 開(kāi)始了他的研究生生涯。

挑戰(zhàn)無(wú)和集猜想

師從 Green 的 Bedert 注定會(huì)與無(wú)和集猜想相遇 —— 在 Bedert 教授官網(wǎng)列出的 100 個(gè)開(kāi)放問(wèn)題中，這個(gè)猜想高居榜首。

地址：https://people.maths.ox.ac.uk/greenbj/papers/open-problems.pdf

剛?cè)雽W(xué)時(shí)瀏覽這份清單的 Bedert ，最初對(duì)這個(gè)難題望而卻步?！肝耶?dāng)時(shí)覺(jué)得這問(wèn)題太難了，根本不想考慮，」他回憶道，「打算留到以后再說(shuō)?！?/span>

但這個(gè)以后比預(yù)期來(lái)得更早。2024 年夏季，已取得階段性成果的 Bedert 決定挑戰(zhàn)更高風(fēng)險(xiǎn)的研究：博士期間我已經(jīng)證明了幾個(gè)不錯(cuò)的結(jié)果，基本湊夠了畢業(yè)論文。于是開(kāi)始考慮這些... 怎么說(shuō)呢... 更「臭名昭著」的難題。

在研讀 Bourgain 1997 年的論文后，Bedert 開(kāi)始構(gòu)思如何實(shí)現(xiàn) Littlewood 范數(shù)的理論藍(lán)圖。幾乎立刻，他就對(duì)處理小 Littlewood 范數(shù)集合問(wèn)題萌生了新思路。

此前數(shù)學(xué)界始終難以證明：具有小 Littlewood 范數(shù)的集合必定呈現(xiàn)等差數(shù)列組合的特征。但 Bedert 認(rèn)為可以轉(zhuǎn)而證明一個(gè)更易實(shí)現(xiàn)的觀點(diǎn) —— 即便這類(lèi)集合并非嚴(yán)格由等差數(shù)列構(gòu)成，它們?nèi)跃哂心承╆P(guān)鍵的類(lèi)等差數(shù)列特性。

在近期研究中，Bedert 發(fā)現(xiàn)了一個(gè)值得深入研究的特性：等差數(shù)列中存在大量具有相同和值的數(shù)字組合。例如在偶數(shù)集（一種等差數(shù)列）中，4+8 的和既等于 2+10，也等于 2+4+6。他推測(cè)，或許只需證明具有小 Littlewood 范數(shù)的集合都滿(mǎn)足這一特性就足夠了。

短短數(shù)周內(nèi)，Bedert 便成功驗(yàn)證了這個(gè)特性。但他隨即意識(shí)到還有大量工作亟待完成。

靈光乍現(xiàn)

破解 60 年無(wú)和集猜想

首先，Bedert 證明了任何具有小 Littlewood 范數(shù)的集合都可以映射到另一個(gè)與等差數(shù)列更為相似的集合。他推測(cè)，正是在這些新集合中，能夠找到大型的無(wú)和子集。

最后的任務(wù)是證明這類(lèi)無(wú)和子集的規(guī)模。整個(gè)圣誕假期，Bedert 都在癡迷地思考這個(gè)問(wèn)題，直到新年，他依然沒(méi)能找到拼圖的最后一塊。

然而，就在一月份返回牛津幾天后，他突然靈光乍現(xiàn)：「我也不清楚靈感從何而來(lái)，或許這些想法在腦海中醞釀已久，最終水到渠成?！?/span>

Bedert 運(yùn)用傅里葉變換工具來(lái)表征集合結(jié)構(gòu)，隨后改進(jìn)了一項(xiàng) 1981 年的證明方法，成功揭示該表征中的某些獨(dú)立成分必然具有較大的 Littlewood 范數(shù)。由于 Bourgain 早已攻克大范數(shù)集合的處理方法，這一發(fā)現(xiàn)最終補(bǔ)全了證明鏈條。

最后，Bedert 證明：對(duì)于任意包含 N 個(gè)整數(shù)的集合，都存在一個(gè)至少包含 N/3 + log (log N) 個(gè)元素的無(wú)和子集。對(duì)于大多數(shù) N 值而言，這個(gè)結(jié)果僅比 Erd?s 提出的 N/3 平均值略大 —— 即便 N 大至 10^100，log (log N) 也僅約為 5。但隨著 N 趨近無(wú)窮大，Bedert 和 Erd?s 的界限之差也會(huì)增大 —— 從而解決了猜想。

關(guān)于無(wú)和子集 —— 以及加法如何影響整數(shù)結(jié)構(gòu) —— 仍有許多未解之謎。雖然 Bedert 的結(jié)果解答了最大無(wú)和子集是否會(huì)無(wú)限大于 N/3 這一問(wèn)題，但數(shù)學(xué)家們尚不清楚這種偏差的具體增長(zhǎng)速度。根據(jù) Green 與兩位同事 2014 年的論文，已知這種偏差的增長(zhǎng)速度慢于 N。但 Green 指出：在 N 這個(gè)上限與 Bedert 提出的 log (log N) 下限之間，仍存在巨大鴻溝。

這項(xiàng)研究還為小 Littlewood 范數(shù)集合提供了全新認(rèn)知。這類(lèi)集合是分析學(xué)中的基礎(chǔ)對(duì)象，卻極難研究。Bedert 的成果幫助數(shù)學(xué)家更深入理解了其結(jié)構(gòu)特征 ——Green 等學(xué)者正計(jì)劃就此展開(kāi)進(jìn)一步探索。

結(jié)論簡(jiǎn)單明了：天才少年攻克古老難題。他所基于的理論精妙深?yuàn)W，最終成果堪稱(chēng)完美。