陶哲軒有多愛GPT-4？

這回，不止寫論文做研究，學(xué)新工具時(shí)他也離不開它了。

就在今天，他的又一篇成果上線，關(guān)于麥克勞林不等式。

為了更好地展現(xiàn)其成果，48歲的他開始學(xué)習(xí)Lean4（一種可作為交互式定理證明工具的函數(shù)式編程語(yǔ)言）。

他自述，隨著學(xué)習(xí)該語(yǔ)言“關(guān)卡難度”的增加，GPT-4又能幫大忙了——

如果沒有它幫我解決各種微妙的語(yǔ)法問題，你都無(wú)法想象我有多崩潰。

不愧是GPT-4的“野生代言人”。

至于這次的論文，陶哲軒表示：

非常簡(jiǎn)短，只有11頁(yè)。并且用到的方法非?；A(chǔ)，只需要本科的微積分和多項(xiàng)式知識(shí)就可以。

一起來看看

麥克勞林不等式

這篇論文10月10日發(fā)表，距離上一篇“歐拉函數(shù)的單調(diào)非遞減序列”差不多正好一個(gè)月。

總的來說，這篇論文主要講的是經(jīng)典麥克勞林不等式認(rèn)為初等對(duì)稱為以下形式（公式1）：

當(dāng)1≤k≤?≤n且y=(y1,…,yn)由非負(fù)實(shí)數(shù)組成時(shí)，它服從不等式（公式2）：

在此，陶哲軒提出了一個(gè)變體（公式3）：

在這個(gè)變體中，y_i被允許為負(fù)。

在這種情況下，不等式“急劇上升”為常數(shù)，即使分母不含k^1/2因子不等式也是已知的。

具體而言，陶哲軒寫道：

公式2也可以被用牛頓不等式來證明：

所有1≤k<n和任意實(shí)數(shù)y1,…,yn有效（特別是這里的yi被允許為負(fù)數(shù)。</n和任意實(shí)數(shù)y1,…,yn有效（特別是這里的y

但是請(qǐng)注意，當(dāng)k=1，n=2時(shí)，它就是算術(shù)平均-幾何平均不等式了：

這種不等式的一般情況可以通過許多標(biāo)準(zhǔn)操作從上面這種特殊情況中推導(dǎo)出來。

為什么可以？這主要?dú)w功于羅爾定理（Rolle’s theorem）。

但陶哲軒指出，關(guān)鍵點(diǎn)是是該運(yùn)算保留了直到S_n-1為止的所有基本對(duì)稱均值。

接下來，我們可以將麥克勞林不等式視為提供n變量上的算術(shù)平均-幾何平均不等式的改進(jìn)版本（當(dāng)k=1，?=n時(shí)）。

不過，牛頓不等式適用于任意實(shí)數(shù)y_i ，一旦允許一個(gè)或多個(gè)y_i為負(fù)，麥克勞林不等式就會(huì)“崩潰”。

但鑒于當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)關(guān)鍵示例：y_i的一半等于+1，一半等于-1。

我們就可以驗(yàn)證基本對(duì)稱均值s_k中當(dāng)k奇數(shù)時(shí)“消失”，為偶數(shù)時(shí)則等于：

特別地，一些常規(guī)估計(jì)可以得出量級(jí)界限（公式a）：

問題又來了，由于當(dāng)0<k≤n上式也成立，因此即使在sk(y)上加上絕對(duì)值之后仍然嚴(yán)重違反了麥克勞林不等式。</k≤n上式也成立，因此即使在s

另一方面，其他數(shù)學(xué)家還觀察到，如果兩個(gè)連續(xù)值都很小，這會(huì)導(dǎo)致所有后續(xù)值s_?(y)也很小。

還有另一數(shù)學(xué)家觀察到了這一說法的更精確版本（公式b）：

其中1≤k≤?≤n且y=(y1,…,yn)為實(shí)數(shù)（但可能為負(fù)）。

假設(shè)k=1，?=n，我們就能得到不等式：

再結(jié)合算術(shù)平均數(shù)-幾何平均數(shù)不等式又可以成立不等式：

以及等式：

與牛頓不等式的證明一樣，公式b的一般情況可以通過一些標(biāo)準(zhǔn)操作（包括前面提到的微分運(yùn)算）從這個(gè)特殊情況得到。

然而，如果對(duì)照關(guān)鍵示例給出的邊界a (公式a) 檢查邊界n (公式b)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)不匹配：

在k^1/2的影響下，b的右側(cè)比左側(cè)大。

在此，論文的主要成果就是通過建立最佳修改（直至常數(shù)），即前面提到的公式3來糾正這一問題。

這個(gè)成果也回答了數(shù)學(xué)網(wǎng)站MathOverflow上網(wǎng)友提出的疑問：

那么陶哲軒是如何解決的呢？

與前面的論點(diǎn)不同，他在這里不主要依賴算術(shù)平均數(shù)-幾何平均數(shù)不等式。相反，主要工具是新的不等式：

它對(duì)所有1≤?≤n和r>0有效。

該式子的證明大家如果感興趣可以進(jìn)一步查閱博客或論文，主要涉及一些微積分、二項(xiàng)式定理和多項(xiàng)式的知識(shí)。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2310.05328