梯度下降是機(jī)器學(xué)習(xí)的動(dòng)力之源

經(jīng)過前面兩節(jié)內(nèi)容的鋪墊，我們可以開始講一講機(jī)器學(xué)習(xí)的動(dòng)力之源：梯度下降。

梯度下降并不是一個(gè)很復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具，其歷史已經(jīng)有200多年了，但是人們可能不曾料到，這樣一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具會(huì)成為諸多機(jī)器學(xué)習(xí)算法的基礎(chǔ)，而且還配合著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)燃了深度學(xué)習(xí)革命。

1、什么是梯度

對(duì)多元函數(shù)的各參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，然后把所求得的各個(gè)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)以向量的形式寫出來，就是梯度。

具體來說，兩個(gè)自變量的函數(shù)f（x1，x2），對(duì)應(yīng)著機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)集中的兩個(gè)特征，如果分別對(duì)x1，x2求偏導(dǎo)數(shù)，那么求得的梯度向量就是（?f/?x1，?f/?x2）T，在數(shù)學(xué)上可以表示成Δf（x1，x2）。那么計(jì)算梯度向量的意義何在呢？其幾何意義，就是函數(shù)變化的方向，而且是變化最快的方向。對(duì)于函數(shù)f（x），在點(diǎn)（x0，y0），梯度向量的方向也就是y值增加最快的方向。也就是說，沿著梯度向量的方向Δf（x0），能找到函數(shù)的最大值。反過來說，沿著梯度向量相反的方向，也就是 -Δf（x0）的方向，梯度減少最快，能找到函數(shù)的最小值。如果某一個(gè)點(diǎn)的梯度向量的值為0，那么也就是來到了導(dǎo)數(shù)為0的函數(shù)最低點(diǎn)（或局部最低點(diǎn)）了。

2、梯度下降：下山的隱喻

在機(jī)器學(xué)習(xí)中用下山來比喻梯度下降是很常見的。想象你們站在一座大山上某個(gè)地方，看著遠(yuǎn)處的地形，一望無際，只知道遠(yuǎn)處的位置比此處低很多。你們想知道如何下山，但是只能一步一步往下走，那也就是在每走到一個(gè)位置的時(shí)候，求解當(dāng)前位置的梯度。然后，沿著梯度的負(fù)方向，也就是往最陡峭的地方向下走一步，繼續(xù)求解新位置的梯度，并在新位置繼續(xù)沿著最陡峭的地方向下走一步。就這樣一步步地走，直到山腳，如下圖所示。

從上面的解釋中，就不難理解為何剛才我們要提到函數(shù)的凹凸性了。因?yàn)?，在非凸函?shù)中，有可能還沒走到山腳，而是到了某一個(gè)山谷就停住了。也就是說，對(duì)應(yīng)非凸函數(shù)梯度下降不一定總能夠找到全局最優(yōu)解，有可能得到的只是一個(gè)局部最優(yōu)解。然而，如果函數(shù)是凸函數(shù)，那么梯度下降法理論上就能得到全局最優(yōu)解。

3、梯度下降有什么用

梯度下降在機(jī)器學(xué)習(xí)中非常有用。簡(jiǎn)單地說，可以注意以下幾點(diǎn)。

機(jī)器學(xué)習(xí)的本質(zhì)是找到最優(yōu)的函數(shù)。

如何衡量函數(shù)是否最優(yōu)？其方法是盡量減小預(yù)測(cè)值和真值間的誤差（在機(jī)器學(xué)習(xí)中也叫損失值）。

可以建立誤差和模型參數(shù)之間的函數(shù)（最好是凸函數(shù)）。

梯度下降能夠引導(dǎo)我們走到凸函數(shù)的全局最低點(diǎn)，也就是找到誤差最小時(shí)的參數(shù)。