假設(shè)你正在玩拋硬幣猜正反的游戲。游戲看上去很公平，沒(méi)有人在干預(yù)硬幣結(jié)果，硬幣看上去也像是普通的硬幣。對(duì)于即將開(kāi)始的下一局，請(qǐng)問(wèn)你該如何下注?

理論上講，硬幣在落地后得到正面和反面的概率是一樣的，所以你可以隨便猜，總會(huì)猜對(duì)一半。但那畢竟是理論，你無(wú)法確保眼前的這枚硬幣也是如此。更何況，你無(wú)法提前拋?zhàn)銐蚨啻芜@枚硬幣，來(lái)驗(yàn)證你的假設(shè)。

那該用怎樣的下注策略呢?答案是根據(jù)歷史信息來(lái)決定。比方說(shuō)，已經(jīng)拋了10次硬幣，其中有8次正面朝上。就是說(shuō)通過(guò)10次實(shí)踐，硬幣正面朝上的概率是80%。雖然這個(gè)概率和它的理論值(50%)比可能有偏差，但它仍然是下注的重要參考。如果還有第11次拋硬幣，你就應(yīng)該去猜正面朝上。

更極端點(diǎn)，如果硬幣扔了一億次都是正面朝上，那下一次反面朝上的概率是多少?我們能否堅(jiān)信它是一枚特殊硬幣呢?不能。雖然下一次硬幣反面朝上的概率無(wú)限接近于零，但它不等于零。只要沒(méi)有對(duì)硬幣做出更進(jìn)一步的確認(rèn)，無(wú)論扔多少次，我們都無(wú)法排除反面朝上這個(gè)選項(xiàng)，只能無(wú)限降低對(duì)它的可能性的預(yù)期。

大部分人都是根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)不斷修正自己的認(rèn)知。畢竟我們不是先知，不能提前知道所有事件發(fā)生的概率。這種思考方式具有現(xiàn)實(shí)意義，它背后的數(shù)學(xué)原理是貝葉斯定理。

一什么是貝葉斯定理

預(yù)測(cè)在生活中必不可少，比如決定是否購(gòu)買(mǎi)更多的股票、預(yù)測(cè)某個(gè)球隊(duì)是否獲勝、確定下個(gè)月是否外出旅游等。要做出準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，不僅需要得到某個(gè)事件發(fā)生概率的理論值，還要結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)做出合理判斷。

換句話(huà)說(shuō)，人對(duì)某一事件未來(lái)會(huì)發(fā)生的認(rèn)知，大多取決于該事件或類(lèi)似事件過(guò)去發(fā)生的頻率。這就是貝葉斯定理的數(shù)學(xué)模型，它最早由數(shù)學(xué)家托馬斯·貝葉斯提出。

貝葉斯生活在18世紀(jì)，他的本職工作是一位英格蘭長(zhǎng)老會(huì)的牧師。1763年，他發(fā)表了論文《論有關(guān)機(jī)遇問(wèn)題的求解》，提出了一種解決問(wèn)題的框架思路，即通過(guò)不斷增加信息和經(jīng)驗(yàn)，逐步逼近真相或理解未知。這種思想奠定了貝葉斯理論的基礎(chǔ)。

貝葉斯定理的過(guò)程可以歸納為：“過(guò)去經(jīng)驗(yàn)”加上“新的證據(jù)”得到“修正后的判斷”。它提供了一種將新觀察到的證據(jù)和已有的經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行推斷的客觀方法。

假設(shè)有隨機(jī)事件A和B，它們的條件概率關(guān)系可以用以下數(shù)學(xué)公式表達(dá)：

• 其中，事件A是要考察的目標(biāo)事件，P(A)是事件A的初始概率，稱(chēng)為先驗(yàn)概率，它是根據(jù)一些先前的觀測(cè)或者經(jīng)驗(yàn)得到的概率。
• B是新出現(xiàn)的一個(gè)事件，它會(huì)影響事件A。P(B)表示事件B發(fā)生的概率。
• P(B|A)表示當(dāng)A發(fā)生時(shí)B的概率，它是一個(gè)條件概率。
• P(A|B)表示當(dāng)B發(fā)生時(shí)A的概率(也是條件概率)，它是我們要計(jì)算的后驗(yàn)概率，指在得到一些觀測(cè)信息后某事件發(fā)生的概率。

貝葉斯公式給出了通過(guò)先驗(yàn)概率和條件概率求出后驗(yàn)概率的方法。舉個(gè)例子，我們假設(shè)A事件代表堵車(chē)，B事件代表下雨，并且已知以下數(shù)據(jù)：

某天下雨的概率是40%，即P(下雨)=0.4。

上班堵車(chē)的概率是80%，即P(堵車(chē))=0.8。

如果上班堵車(chē)，則這天是雨天的概率有30%，即P(下雨|堵車(chē))=0.3。

那么，我們就能求出下雨天上班堵車(chē)的概率：

P(堵車(chē)|下雨)

= P(堵車(chē))×P(下雨|堵車(chē)) ÷P(下雨)

= 0.8×0.3÷0.4

= 0.6

這個(gè)計(jì)算并不復(fù)雜，但蘊(yùn)含著深刻的含義。有時(shí)，先驗(yàn)概率很容易得到，但對(duì)于不同的條件概率，其計(jì)算難度差別很大。比如醫(yī)生可以在心臟病人中統(tǒng)計(jì)男女占比，但很少會(huì)在只知道對(duì)方性別的情況下診斷對(duì)方得心臟病的概率。

另外，根據(jù)貝葉斯公式，先驗(yàn)概率一般是由以往的數(shù)據(jù)分析或統(tǒng)計(jì)得到的概率數(shù)據(jù)。后驗(yàn)概率是在某些條件下發(fā)生的概率，是在得到信息之后再重新加以修正的概率。也就是說(shuō)，后驗(yàn)概率可以在先驗(yàn)概率的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正并得到。

1. 貝葉斯派和頻率派

基于貝葉斯的思考方式幾乎無(wú)時(shí)無(wú)刻不在發(fā)生。

人通常很少做出絕對(duì)的判斷，但會(huì)做出相對(duì)可信的推斷，并根據(jù)新的證據(jù)不斷更新之前的結(jié)論。比方說(shuō)，沒(méi)有一個(gè)程序員能保證自己寫(xiě)出來(lái)的代碼沒(méi)有任何缺陷。但是我們可以對(duì)它進(jìn)行大量驗(yàn)證，每通過(guò)一項(xiàng)測(cè)試，我們就更有把握確保這段代碼的質(zhì)量。

在貝葉斯派的世界觀中，概率是被解釋為人們對(duì)一件事情發(fā)生的相信程度，也就是信心。假設(shè)你不確定一件事情的發(fā)生概率，但你知道一定存在這個(gè)概率值，于是你開(kāi)始不斷重復(fù)做試驗(yàn)，并記錄下每次的結(jié)果。

剛開(kāi)始時(shí)，得到的后驗(yàn)概率是不穩(wěn)定的。但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，觀測(cè)值的出現(xiàn)概率會(huì)越來(lái)越接近它的真實(shí)概率值。在這個(gè)過(guò)程中，我們不是從隨機(jī)性里推斷出確定性，而是保留了不確定性。這是貝葉斯派的思考方式。

不過(guò)，持有頻率派觀點(diǎn)的人對(duì)概率有另一種解釋。他們認(rèn)為概率是事件在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)發(fā)生的頻率，也就是發(fā)生次數(shù)。比如，汽車(chē)事故發(fā)生的概率，可以認(rèn)為是一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生車(chē)輛事故的次數(shù)。

不過(guò)人們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)定義不適用于一些特殊情況，尤其是只會(huì)發(fā)生一次的事件。試想一下，選舉時(shí)我們討論某個(gè)候選人的獲選概率，但選舉本身在未來(lái)只會(huì)發(fā)生一次，永遠(yuǎn)得不到多次選舉的數(shù)據(jù)。

為了解決這個(gè)矛盾，頻率派提出了“替代現(xiàn)實(shí)”的說(shuō)法，套用今天物理學(xué)里的概念就是平行宇宙，頻率派認(rèn)為概率是所有平行宇宙中發(fā)生的頻率。

有時(shí)，把概率理解為信心或頻率并不影響結(jié)果。比如一個(gè)人對(duì)汽車(chē)事故發(fā)生的信心就等同于他了解到的汽車(chē)事故的頻率。但有時(shí)，用貝葉斯派的觀點(diǎn)來(lái)解釋概率顯得更加自然。比如大會(huì)選舉的例子，貝葉斯派不用考慮什么平行宇宙，只要考慮對(duì)候選人的獲勝信心，把它當(dāng)作選舉成功的概率，這種理解具有現(xiàn)實(shí)意義。

貝葉斯派認(rèn)為概率代表了個(gè)人觀點(diǎn)，每個(gè)人都能給出自己認(rèn)定的事件概率，它因人而異，沒(méi)有唯一的標(biāo)準(zhǔn)。某人把概率0賦予某個(gè)事件，表明他完全確定此事不會(huì)發(fā)生;如果概率是1，則說(shuō)明他確信此事一定會(huì)發(fā)生。概率值在0和1之間，表示他心目中此事發(fā)生的可能性。

這種觀點(diǎn)為人與人之間的認(rèn)知差異保留了余地。每個(gè)人擁有不同的信息、認(rèn)知、判斷，這些差異導(dǎo)致了不同的人對(duì)同一事件發(fā)生有著不同的信心，這并不代表別人就是錯(cuò)的。比如我在拋硬幣后偷看了結(jié)果，我就能確定某個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率是1。顯然，我獲得的額外信息并不會(huì)改變硬幣本身的結(jié)果，但會(huì)使我和別人對(duì)結(jié)果賦予不同的概率值。

在貝葉斯派看來(lái)，對(duì)一個(gè)事件發(fā)生的信心等同于概率。這似乎是人們長(zhǎng)期以來(lái)和現(xiàn)實(shí)世界打交道的方式。很多情況下，人們只能了解部分真相，但可以通過(guò)不斷收集證據(jù)來(lái)修正自己的觀念。

頻率派和貝葉斯派在考察不確定性時(shí)的出發(fā)點(diǎn)各不相同。頻率派認(rèn)為事件本身具有某種客觀的隨機(jī)性，而貝葉斯派認(rèn)為這不是事件的問(wèn)題，而是觀察者不知道事件的結(jié)果。觀察者對(duì)事件了解得越多，擁有的證據(jù)越多，他對(duì)事件的判斷就越準(zhǔn)確。

2. 貝葉斯推斷與應(yīng)用

基于貝葉斯的推理與應(yīng)用為何這些年來(lái)廣為流傳，為人津津樂(lè)道?答案是因?yàn)榇髷?shù)據(jù)。過(guò)去沒(méi)有大數(shù)據(jù)，所以先驗(yàn)概率很難獲得。這些年來(lái)，很多數(shù)據(jù)被人們積累下來(lái)，貝葉斯模型的運(yùn)用領(lǐng)域也越來(lái)越廣泛。

比如在一些語(yǔ)言翻譯的網(wǎng)站、醫(yī)療診斷的儀器中，就會(huì)用到貝葉斯的統(tǒng)計(jì)方法。還有在電子郵件軟件中，也集成了基于貝葉斯方法的垃圾郵件過(guò)濾功能。

貝葉斯定理告訴我們，即便獲得了新的證據(jù)，也不要完全放棄初始的信念。新的證據(jù)會(huì)讓我們對(duì)某些結(jié)果更有信心，或幫助我們修正初始信念的錯(cuò)誤。

就是說(shuō)，我們既要關(guān)注新的證據(jù)，又不能忽略初始信念。新的證據(jù)很重要，因?yàn)槌跏夹拍羁赡苁清e(cuò)的，這些證據(jù)可以用于做出修正。但同時(shí)，初始信念仍然是重要的基礎(chǔ)，不能只根據(jù)新證據(jù)就草率地做出判斷。關(guān)于這一點(diǎn)，讓我們來(lái)舉些例子。

假設(shè)中年婦女有1%的概率患有乳腺癌。有一臺(tái)醫(yī)療設(shè)備能檢驗(yàn)女性胸部腫瘤。根據(jù)已有檢測(cè)數(shù)據(jù)，這臺(tái)設(shè)備有80%的概率能正確診斷出乳腺癌。但對(duì)于健康女性，它也有10%的概率做出誤判?，F(xiàn)在假設(shè)有一位婦女的檢查結(jié)果呈陽(yáng)性，她被查出患有乳腺癌，那么她真正得癌的概率是多少?

大部分醫(yī)生認(rèn)為既然設(shè)備已經(jīng)檢查出了陽(yáng)性，這位女性患有乳腺癌的概率就該很高，他們給出的答案通常在75%左右。但實(shí)際上，這個(gè)答案被高估了10倍。

貝葉斯定理告訴我們，1%的先驗(yàn)概率，不會(huì)立刻變成75%的后驗(yàn)概率，它只會(huì)增加到7.5%。很多醫(yī)生往往過(guò)于強(qiáng)調(diào)設(shè)備的準(zhǔn)確率，認(rèn)為檢查結(jié)果呈陽(yáng)性，這位婦女患乳腺癌的概率就應(yīng)該和設(shè)備的準(zhǔn)確率差不多，在80%左右。

但這種直覺(jué)判斷是錯(cuò)的。我們必須把更多的注意力放在患乳腺癌的女性的初始比例(即先驗(yàn)概率)以及健康女性是假陽(yáng)性的概率上。因?yàn)榻】蹬缘恼急冗h(yuǎn)高于患乳腺癌的人，所以她們被誤診為陽(yáng)性的可能性也更大，這個(gè)數(shù)據(jù)不能輕易忽視。

再比如，假設(shè)一個(gè)盒子里放了很多球，其中紅球占85%，綠球占15%。有人從盒子中拿出一個(gè)球，這個(gè)人有色弱，假設(shè)他分辨顏色的準(zhǔn)確率是80%。如果這個(gè)人說(shuō)這是一個(gè)綠球，那么這個(gè)球是綠色的概率是多少呢?

讓我們來(lái)做一次計(jì)算：由于紅色的球被看成是綠色的概率是85%×20%，綠色的球被看成是綠色的概率是15%×80%，所以這個(gè)球是綠色的概率是0.15×0.8/(0.85×0.2+0.15×0.8)=41.38%。

也就是說(shuō)，盡管這個(gè)人看到的是綠球，而且他分辨顏色的準(zhǔn)確率達(dá)到80%，因?yàn)榫G球本身的基數(shù)小，所以這個(gè)球是紅球的可能性更大。

通過(guò)上面兩個(gè)例子，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)先驗(yàn)概率足夠強(qiáng)大時(shí)，即使出現(xiàn)新的證據(jù)，先驗(yàn)概率也會(huì)表現(xiàn)出驚人的影響力。這給我們的啟示是，不能只把焦點(diǎn)放在最新獲得的信息上，同時(shí)要關(guān)注全局，考慮先驗(yàn)概率這個(gè)重要前提。

二 樸素貝葉斯有多“樸素”

貝葉斯定理研究的是條件概率，也就是在特定條件下發(fā)生的概率問(wèn)題?；谶@一數(shù)學(xué)思想，人們提出了一種叫作樸素貝葉斯的算法。

樸素貝葉斯常用于解決分類(lèi)問(wèn)題，它的目的是把具有某些特征的樣本劃分到最可能屬于的類(lèi)別中。也就是說(shuō)，樣本屬于哪個(gè)類(lèi)別的概率最大，就認(rèn)為它屬于哪個(gè)類(lèi)別。

該算法已經(jīng)被用在郵件分類(lèi)、文章分類(lèi)、情感分析等很多應(yīng)用場(chǎng)景。以郵件分類(lèi)為例，算法通過(guò)統(tǒng)計(jì)郵件內(nèi)容中單詞出現(xiàn)的頻率，對(duì)郵件做出判斷，比如發(fā)現(xiàn)了“掃碼”“匯款”等特定詞高頻出現(xiàn)，那么就判斷這封郵件疑似垃圾郵件。

既然叫作樸素貝葉斯算法，那它到底“樸素”在哪兒?

使用樸素貝葉斯算法要滿(mǎn)足一個(gè)基本假設(shè)：假定給定目標(biāo)值的各個(gè)特征之間是相互獨(dú)立的，即條件獨(dú)立性。舉個(gè)例子，“鸚鵡會(huì)飛”和“鸚鵡會(huì)學(xué)人說(shuō)話(huà)”這兩個(gè)短語(yǔ)是條件獨(dú)立的，因?yàn)樗鼈冎g沒(méi)有必然聯(lián)系。

而“鸚鵡會(huì)飛”和“鸚鵡是鳥(niǎo)”就不是條件獨(dú)立的，它們之間具有關(guān)聯(lián)：鸚鵡是鳥(niǎo)，所以它能飛;或者因?yàn)辂W鵡會(huì)飛，所以它才被叫作鳥(niǎo)。總之，這兩個(gè)短語(yǔ)彼此影響，“鸚鵡會(huì)飛”影響了“鸚鵡是鳥(niǎo)”的結(jié)論，“鸚鵡是鳥(niǎo)”又導(dǎo)致了“鸚鵡會(huì)飛”，它們不是條件獨(dú)立的。

樸素貝葉斯算法為何要設(shè)置條件獨(dú)立的前提呢?這是因?yàn)?，如果每個(gè)特征不是相互獨(dú)立的，在計(jì)算條件概率時(shí)，就必須把這些特征的所有排列組合都考慮一遍。這樣不僅計(jì)算量大，還會(huì)產(chǎn)生指數(shù)級(jí)的參數(shù)數(shù)量，實(shí)際執(zhí)行起來(lái)難度很大。

下面我們以文本分類(lèi)為例，看看樸素貝葉斯算法的具體運(yùn)作過(guò)程。

首先，確定不同特征條件下各類(lèi)別的出現(xiàn)概率。比如要判斷一篇文章是經(jīng)濟(jì)類(lèi)文章還是體育類(lèi)文章，可以把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)出現(xiàn)“銀行”“貸款”等特定詞語(yǔ)時(shí)，這篇文章屬于經(jīng)濟(jì)類(lèi)的概率更高，還是屬于體育類(lèi)的概率更高?

其次，省略計(jì)算全概率。由于只是比較概率大小，因此不必計(jì)算每個(gè)特征出現(xiàn)的全概率。根據(jù)貝葉斯公式，全概率對(duì)所有類(lèi)別都是同樣的分母，比較時(shí)可以忽略。即，對(duì)于任意一篇文章，出現(xiàn)“銀行”的概率有多大，含有“貸款”的概率又是多少，可以不必統(tǒng)計(jì)。

最后，也是樸素貝葉斯算法最核心的思想：假設(shè)各個(gè)特征是條件獨(dú)立的。這樣只要計(jì)算每個(gè)特征的條件概率，然后相乘比較，就能得出結(jié)論。就是說(shuō)，不用考慮文章中“銀行”“貸款”這些詞語(yǔ)之間是否有關(guān)聯(lián)(實(shí)際上它們很可能是有關(guān)聯(lián)的)，只要計(jì)算每個(gè)詞語(yǔ)的條件概率即可。

在這個(gè)例子中，假設(shè)待分類(lèi)的文章中出現(xiàn)過(guò)“銀行”“貸款”這樣的詞語(yǔ)。而我們已經(jīng)有一些經(jīng)濟(jì)類(lèi)和體育類(lèi)的文章樣本，可以事先統(tǒng)計(jì)出不同文章出現(xiàn)不同詞匯的概率。現(xiàn)在要判斷手上這篇文章到底是經(jīng)濟(jì)類(lèi)文章還是體育類(lèi)文章，可以計(jì)算以下兩個(gè)“分?jǐn)?shù)”。

分?jǐn)?shù)1= (一篇文章是經(jīng)濟(jì)類(lèi)文章的概率)×(經(jīng)濟(jì)類(lèi)文章出現(xiàn)“銀行”的概率)×(經(jīng)濟(jì)類(lèi)文章出現(xiàn)“貸款”的概率)

分?jǐn)?shù)2= (一篇文章是體育類(lèi)文章的概率)×(體育類(lèi)文章出現(xiàn)“銀行”的概率)×(體育類(lèi)文章出現(xiàn)“貸款”的概率)

如果分?jǐn)?shù)1大于分?jǐn)?shù)2，這篇文章就更有可能是經(jīng)濟(jì)類(lèi)文章，反之，則認(rèn)為它是體育類(lèi)文章。

當(dāng)然，運(yùn)用樸素貝葉斯算法還需要一些“技巧”。比如，算法要避免出現(xiàn)某個(gè)概率是0的情況。假設(shè)基于手上已有的學(xué)習(xí)樣本，經(jīng)濟(jì)類(lèi)文章恰巧沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)“銀行”這個(gè)詞，這時(shí)得到的(經(jīng)濟(jì)類(lèi)文章出現(xiàn)“銀行”的概率)就是0，這就出了問(wèn)題，因?yàn)橹灰?的存在，總得分就一定是0，這會(huì)放大不常見(jiàn)單詞對(duì)結(jié)果的影響。

因此，有時(shí)會(huì)為每個(gè)詞的出現(xiàn)次數(shù)設(shè)定一個(gè)很小的初始值，以防止那些不存在的樣本對(duì)總體概率造成影響。

針對(duì)文本處理，盡管不同單詞之間存在聯(lián)系，每種語(yǔ)言也有它特定的語(yǔ)法規(guī)則，但樸素貝葉斯選擇忽略這些關(guān)聯(lián)性。這個(gè)“樸素”的假設(shè)使得計(jì)算過(guò)程大幅簡(jiǎn)化，而從實(shí)踐來(lái)看，結(jié)論通常不會(huì)有過(guò)大的偏差。

這就是樸素貝葉斯的“樸素”思想，它人為給了一個(gè)非常強(qiáng)的前提假設(shè)。由于這一假設(shè)，模型包含的條件概率數(shù)量大幅減少，樸素貝葉斯算法的預(yù)測(cè)過(guò)程也大為簡(jiǎn)化。當(dāng)然，這么做也在一定程度上犧牲了分類(lèi)準(zhǔn)確性。

三 每個(gè)人都懂貝葉斯

貝葉斯定理雖然只是一個(gè)數(shù)學(xué)公式，但其內(nèi)涵已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了公式范疇。它告訴我們，要從不同角度去思考已有的想法，以不同的方式來(lái)檢驗(yàn)它們，通過(guò)實(shí)踐不斷調(diào)整對(duì)問(wèn)題的假設(shè)和看法。

貝葉斯定理提供了一種看待事物的全新視角。在一個(gè)不確定的環(huán)境下，每條信息都會(huì)影響原來(lái)的概率假設(shè)，需要根據(jù)最新的信息更新和改進(jìn)決策，直到?jīng)Q策者從一切都不確定的狀態(tài)變成可以堅(jiān)定信心的狀態(tài)。

人的認(rèn)知過(guò)程或許就是如此。人類(lèi)一直在探索和掌握新的知識(shí)，在這個(gè)過(guò)程中，一些知識(shí)被修正，錯(cuò)誤的觀念被丟棄。

“燃素”就是很好的例子。這一概念最早出現(xiàn)在17世紀(jì)，當(dāng)時(shí)人們不了解空氣的組成，也沒(méi)有氧氣、氮?dú)狻⒀趸饔玫认嚓P(guān)知識(shí)。為了解釋燃燒現(xiàn)象，“燃素”的概念被提出，人們認(rèn)為物體會(huì)燃燒是因?yàn)橛辛巳妓?。后?lái)經(jīng)過(guò)科學(xué)實(shí)驗(yàn)，人們才知道燃燒是一種化學(xué)反應(yīng)，自此“燃素”的概念才被徹底棄用。

除了認(rèn)知更新，貝葉斯定理也解釋了人們?yōu)槭裁春茈y接受與自身經(jīng)驗(yàn)相悖的信息或觀念。因?yàn)橹挥袟l件概率足夠強(qiáng)大，才能改變先驗(yàn)概率原本的影響。

舉例來(lái)說(shuō)，以前大多數(shù)人相信“大地是平的”。公元前5世紀(jì)左右，古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯提出“地球是球形”的猜想，但當(dāng)時(shí)他沒(méi)有什么證據(jù)。后來(lái)，亞里士多德根據(jù)月食時(shí)地影的形狀，給出了第一個(gè)科學(xué)證據(jù)。直到16世紀(jì)，葡萄牙人麥哲倫實(shí)現(xiàn)了人類(lèi)歷史上的首次環(huán)球航海，證明了“地球是圓的”，人們這才開(kāi)始普遍接受“地球”這個(gè)概念。

在推理小說(shuō)中，偵探推理的過(guò)程也蘊(yùn)含著貝葉斯定理的思想。優(yōu)秀的偵探都會(huì)在心理先做出一個(gè)假設(shè)，比如預(yù)設(shè)某個(gè)人是罪犯的先驗(yàn)概率，然后根據(jù)不斷得到的線索和證據(jù)來(lái)更新后驗(yàn)概率。得到的線索越多，證據(jù)越充分，對(duì)某人是罪犯的把握就越大。

在福爾摩斯推理小說(shuō)中，福爾摩斯本人就是一個(gè)非常擅長(zhǎng)貝葉斯推理的人。他第一眼見(jiàn)到華生時(shí)，就知道他來(lái)自阿富汗。福爾摩斯的推理過(guò)程是這樣的：眼前這位先生，具有醫(yī)務(wù)工作者的風(fēng)度，但是一副軍人氣概。于是推測(cè)對(duì)方大概率是個(gè)軍醫(yī)。

他臉色黝黑，但是手腕的皮膚黑白分明，說(shuō)明原來(lái)的膚色并非黑色，所以他是剛從氣候炎熱的地帶回來(lái)的。他面容憔悴，這就說(shuō)明他是久病初愈而又歷盡了艱苦。他左臂受過(guò)傷，動(dòng)作起來(lái)還有些僵硬不便。試問(wèn)，一個(gè)英國(guó)的軍醫(yī)在氣候炎熱的地方歷盡艱苦，臂部還負(fù)過(guò)傷，這能在什么地方呢?自然只有在阿富汗了。

這樣一系列的假設(shè)、推理、驗(yàn)證，足見(jiàn)福爾摩斯的智慧，也展現(xiàn)了貝葉斯推理的過(guò)程。

無(wú)論是在數(shù)學(xué)還是在生活實(shí)踐中，貝葉斯定理都有著重要的指導(dǎo)意義。究其原因，是由于一件事情由“因”推導(dǎo)出“果”是容易的，但是要做逆運(yùn)算就很困難。比如一個(gè)人向窗戶(hù)扔球，球有很大可能性會(huì)打破窗戶(hù)。我們的思考和認(rèn)知都在“由因索果”這個(gè)方向上。

但如果我們只知道結(jié)果，即窗戶(hù)破了，想要推斷原因，那就必須得到更多的信息，比如到底是哪個(gè)男孩扔球打破了窗戶(hù)?窗戶(hù)是被球打破的嗎?解決這個(gè)逆概率問(wèn)題要比正向推導(dǎo)困難得多，但貝葉斯方法為我們提供了一種估算逆概率難題的實(shí)用方法。

總的來(lái)說(shuō)，我們可以從思維推導(dǎo)的正方向入手，直接估算那些有把握的概率，然后利用貝葉斯公式，得到逆方向上較難推導(dǎo)的條件概率。這是貝葉斯定理在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要應(yīng)用。

關(guān)于作者：徐晟，某商業(yè)銀行IT技術(shù)主管，畢業(yè)于上海交通大學(xué)，從事IT技術(shù)領(lǐng)域工作十余年，對(duì)科技發(fā)展、人工智能有自己獨(dú)到的見(jiàn)解，專(zhuān)注于智能運(yùn)維(AIOps)、數(shù)據(jù)可視化、容量管理等方面工作。

本文摘編自《大話(huà)機(jī)器智能：一書(shū)看透AI的底層運(yùn)行邏輯》，經(jīng)出版方授權(quán)發(fā)布。(ISBN：9787111696193)