圖算法系列之無(wú)向圖的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
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前言
從本篇開(kāi)始我們將會(huì)一起來(lái)學(xué)習(xí)圖相關(guān)的算法,圖算有很多相當(dāng)實(shí)用算法,比如:垃圾回收器的標(biāo)記清除算法、地圖上求路徑的最短距離、拓?fù)渑判虻?。在開(kāi)始學(xué)習(xí)這些算法之前我們需要先來(lái)了解下圖的基本定義,以及使用哪種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)表示一張圖,本篇我們先從無(wú)向圖開(kāi)始學(xué)習(xí)。
圖的定義
圖:是有一組頂點(diǎn)和一組能夠?qū)蓚€(gè)訂單相連組成的。連接兩個(gè)頂點(diǎn)的邊沒(méi)有方向,這種圖稱之為無(wú)向圖。
圖的術(shù)語(yǔ)
通過(guò)同一條邊相連的兩個(gè)頂點(diǎn)我們稱這兩個(gè)頂點(diǎn)相鄰;
某個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)即表示連接這個(gè)頂點(diǎn)的邊的總數(shù);如上圖:頂點(diǎn)1的度數(shù)是3
一條邊連接了一個(gè)頂點(diǎn)與其自身,我們稱為自環(huán)
連接同一對(duì)頂點(diǎn)的邊稱為平行邊
術(shù)語(yǔ)還有很多,暫時(shí)這里只列出本篇我們需要使用到的術(shù)語(yǔ),后面有在使用到其他的術(shù)語(yǔ)再做解釋,太多也不太容易記得住
如何表示出圖
圖用什么數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)表示主要參考兩個(gè)要求:
- 在開(kāi)發(fā)圖的相關(guān)算法時(shí),圖的表示的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是基礎(chǔ),所以這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)效率的高
- 在實(shí)際的過(guò)程中圖的大小不確定,可能會(huì)很大,所以需要預(yù)留出足夠的空間
考慮了這兩個(gè)要求之后大佬們提出以下三個(gè)方法來(lái)供選擇:
- 鄰接矩陣 鍵入有v個(gè)頂點(diǎn)的圖,我們可以使用v乘以v的矩陣來(lái)表示,如果頂點(diǎn)v與w相連,那么把v行w列設(shè)置為true,這樣就可以表示兩個(gè)頂點(diǎn)相連,但是這個(gè)方式有個(gè)問(wèn)題,如果遇到圖很大,會(huì)造成空間的浪費(fèi)。不滿足第二點(diǎn)。其次這種方式?jīng)]辦法表示平行邊
- 邊的數(shù)組 可以定義一個(gè)表示的邊對(duì)象,包含兩個(gè)int屬性表示頂點(diǎn),但是如果需要找到某個(gè)頂點(diǎn)的相連頂點(diǎn)有哪些,我們就需要遍歷一遍全部的邊。這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的效率較差
- 鄰接表數(shù)組 定義一個(gè)數(shù)組,數(shù)組的大小為頂點(diǎn)的個(gè)數(shù),數(shù)據(jù)下標(biāo)表示頂點(diǎn),數(shù)組中每個(gè)元素都是一個(gè)鏈表對(duì)象(LinkedListQueue),鏈表中存放的值就是與該頂點(diǎn)相連的頂點(diǎn)。(LinkedListQueue我們已經(jīng)在之前的文章中實(shí)現(xiàn),可以參考文章《https://juejin.cn/post/6926685994347397127》)
無(wú)向圖的API定義
- public class Graph {
- public Graph(int V); //創(chuàng)建含有v個(gè)頂點(diǎn)不含邊的圖
- public int V(); //返回頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)
- public int E(); //返回圖中邊的總數(shù)
- public void addEdge(int v, int w); //向圖中添加一條邊 v-W
- public Iterable<Integer> adj(int v); //返回與v相鄰的所有頂點(diǎn)
- public String toString(); //使用字符串打印出圖的關(guān)系
- }
無(wú)向圖API的實(shí)現(xiàn)
要實(shí)現(xiàn)上面定義的API,我們需要三個(gè)成員變量,v表示圖中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù),e表示圖總共邊的數(shù)據(jù),LinkedListQueue的數(shù)組用來(lái)存儲(chǔ)頂點(diǎn)v的相鄰節(jié)點(diǎn);
構(gòu)造函數(shù)會(huì)初始化空的鄰接表數(shù)組
因?yàn)槭菬o(wú)向圖,所以addEdge方法在向圖中添加邊既要添加一條v->w的邊,有需要添加一條w->v的邊
- public class Graph {
- private final int v;
- private int e;
- private LinkedListQueue<Integer>[] adj;
- public Graph(int v) {
- this.v = v;
- this.adj = (LinkedListQueue<Integer>[]) new LinkedListQueue[v];
- for (int i = 0; i < v; i++) {
- this.adj[i] = new LinkedListQueue<>();
- }
- }
- public int V() {
- return v;
- }
- public int E() {
- return e;
- }
- public void addEdge(int v, int w) {
- this.adj[v].enqueue(w);
- this.adj[w].enqueue(v);
- this.e++;
- }
- public Iterable<Integer> adj(int v) {
- return this.adj[v];
- }
- @Override
- public String toString() {
- StringBuilder sb = new StringBuilder();
- sb.append(v).append(" 個(gè)頂點(diǎn),").append(e).append(" 條邊\n");
- for (int i = 0; i < v; i++) {
- sb.append(i).append(": ");
- for (int j : this.adj[i]) {
- sb.append(j).append(" ");
- }
- sb.append("\n");
- }
- return sb.toString();
- }
- }
圖的常用工具方法
基于圖數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的實(shí)現(xiàn),我們可以提供一些工具方法
計(jì)算頂點(diǎn)v的度數(shù) 頂點(diǎn)的度數(shù)就等于與之相連接頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)
- public static int degree(Graph graph, int v) {
- int degree = 0;
- for (int w : graph.adj(v)) {
- degree++;
- }
- return degree;
- }
計(jì)算所有頂點(diǎn)的最大度數(shù)
- public static int maxDegree(Graph graph) {
- int maxDegree = 0;
- for (int v = 0; v < graph.V(); v++) {
- int degree = degree(graph, v);
- if (maxDegree < degree) {
- maxDegree = degree;
- }
- }
- return maxDegree;
- }
計(jì)算所有頂點(diǎn)的平均度數(shù) 每條邊都有兩個(gè)頂點(diǎn),所以圖所有頂點(diǎn)的總度數(shù)是邊的2倍
- public static double avgDegree(Graph graph) {
- return 2.0 * graph.E() / graph.V();
- }
計(jì)算圖中的自環(huán)個(gè)數(shù) 對(duì)于頂點(diǎn)v,如果v同時(shí)也出現(xiàn)了在v的鄰接表中,那么表示v存在一個(gè)自環(huán);由于是無(wú)向圖,每條邊都被記錄了兩次(如果不好理解可以把圖的toString打印出來(lái)就可以理解了)
- public static int numberOfSelfLoops(Graph graph) {
- int count = 0;
- for (int v = 0; v < graph.V(); v++) {
- for (int w : graph.adj(v)) {
- if (v == w) {
- count++;
- }
- }
- }
- return count / 2;
- }
總結(jié)
本篇我們主要學(xué)習(xí)使用何種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)表示一張圖,以及基于這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了幾個(gè)簡(jiǎn)單的工具方法,在下一篇我們將來(lái)學(xué)習(xí)圖的第一個(gè)搜索算法 - 深度優(yōu)先搜索
文中所有源碼已放入到了github倉(cāng)庫(kù):https://github.com/silently9527/JavaCore