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 一、前言

計(jì)算機(jī)最喜歡的數(shù)字就是 0 和 1，在 CPU 的世界中，它只認(rèn)識(shí)這兩個(gè)數(shù)字，即使是強(qiáng)大的操作系統(tǒng)，也都是由 0 和 1 組成的。

作為一名軟件開發(fā)者，入門學(xué)習(xí)的內(nèi)容可能就是認(rèn)識(shí)這 2 個(gè)既簡(jiǎn)單、又強(qiáng)大的數(shù)字。但是大部分人，對(duì)于二進(jìn)制、二進(jìn)制計(jì)算、原碼、反碼以及補(bǔ)碼的認(rèn)識(shí)，仍處于機(jī)械的強(qiáng)制記憶階段。尤其是對(duì)一些編碼和計(jì)算，仍然處于模糊的認(rèn)識(shí)階段，例如：

1. CPU 是如何表示負(fù)數(shù)的?
2. 為什么補(bǔ)碼可以用來(lái)表示負(fù)數(shù)?
3. 一個(gè) 8 位的二進(jìn)制數(shù)，最小值為什么是 -128，而不是 -127?
4. CPU 中的加法器，為什么可以連同符號(hào)位一起運(yùn)算?

這篇文章我們就來(lái)聊聊這個(gè)最最基礎(chǔ)的內(nèi)容，幫助你來(lái)理解二進(jìn)制計(jì)算的相關(guān)內(nèi)容，看完這篇文章之后，不僅知其然，更能知其所以然!

PS: 這里有點(diǎn)高調(diào)了，最終的所以然部分，應(yīng)該涉及到數(shù)學(xué)證明這一層次了，本文并不會(huì)涉及到求證過(guò)程。

二、從十進(jìn)制到二進(jìn)制

1. 十進(jìn)制

作為數(shù)學(xué)計(jì)算能力強(qiáng)大的中國(guó)，10 以內(nèi)的加減法，應(yīng)該是在幼兒園階段就完成了。如果你不屬于這個(gè)范圍，說(shuō)明你上的是假幼兒園。

我們來(lái)快速?gòu)?fù)習(xí)一下關(guān)于十進(jìn)制運(yùn)算的一些基本知識(shí):

1. 每一個(gè)數(shù)位上包括的數(shù)字為 0 到 9;
2. 每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)，是它右側(cè)數(shù)位的 10 倍;
3. 兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，相同數(shù)位上的數(shù)相加之和如果大于等于 10，就向前進(jìn) 1 位，即：滿十進(jìn)一;

具體來(lái)看就是：

1. 從右數(shù)第一個(gè)位數(shù)(個(gè)位)上的數(shù)字代表多少個(gè) 1;
2. 從右數(shù)第二個(gè)位數(shù)(十位)上的數(shù)字代表多少個(gè) 10;
3. 從右數(shù)第三個(gè)位數(shù)(百位)上的數(shù)字代表多少個(gè) 100;
4. 從右數(shù)第四個(gè)位數(shù)(千位)上的數(shù)字代表多少個(gè) 1000;

十進(jìn)制的數(shù)，可以使用后綴字母 D 來(lái)表示，也可以省略。例如：十進(jìn)制的 1234 這個(gè)數(shù)字，個(gè)位上的數(shù)是 4， 十位上的數(shù)是 3， 百位上的數(shù)是 2，千位上的數(shù)是 1(一般是從最右側(cè)的個(gè)位說(shuō)起)，每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)比它右側(cè)大十倍。如下圖：

 

十進(jìn)制數(shù)據(jù)，也稱作基于十的表示法。

2. 二進(jìn)制

那么對(duì)于二進(jìn)制呢?直接套用上面十進(jìn)制的概念，然后把 10 換成 2 即可(目前先忽略符號(hào)位)：

1. 每一個(gè)數(shù)位上包括的數(shù)字為 0 和 1;
2. 每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)，是它右側(cè)數(shù)位的 2 倍;
3. 兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，相同數(shù)位上的數(shù)相加之和如果大于等于 2，就向前進(jìn) 1 位，即：滿二進(jìn)一;

具體來(lái)看就是：

1. 從右數(shù)第一個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 1;
2. 從右數(shù)第二個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 2;
3. 從右數(shù)第三個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 4;
4. 從右數(shù)第四個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 8;

記住幾個(gè)重點(diǎn)：二進(jìn)制數(shù)中只包含 0 和 1 兩個(gè)數(shù)字，在相加時(shí)滿二進(jìn)一。

在十進(jìn)制中，每一個(gè)數(shù)位我們給它進(jìn)行了專門的命名(個(gè)位、十位、百位...)，但是二進(jìn)制沒(méi)有類似的命名。

二進(jìn)制的數(shù)，使用后綴字母 B 來(lái)表示，例如：二進(jìn)制的 1111B 這個(gè)數(shù)字，用圖來(lái)表示權(quán)重如下：

換算成十進(jìn)制數(shù)就是 15(1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 15)。

在二進(jìn)制中，每一位稱為一個(gè)比特(bit)，如果用 8 個(gè) bit 來(lái)表示一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，最小值是 0000_00000，最大值是 1111_1111;

如果用 16 個(gè) bit 來(lái)表示一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，最小值是 0000_0000_0000_0000，最大值是 1111_1111_1111_1111。(為了便于觀察，每 4 個(gè) bit 之間，加上了分隔符)

在早期的計(jì)算機(jī)中，8 位的處理器很常見，于是就給它一個(gè)專門的名字：字節(jié)(Byte)。16 位的二進(jìn)制數(shù)就是 2 個(gè)字節(jié)，也稱作：字(Word)。

3. 擴(kuò)展到十六進(jìn)制

原理還是相同的：直接把十進(jìn)制中的 10 換成 16 即可：

1. 每一個(gè)數(shù)位上包括的數(shù)字為 0 到 9，A 到 F;
2. 每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)，是它右側(cè)數(shù)位的 16 倍;
3. 兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，相同數(shù)位上的數(shù)相加之和如果大于等于 16，就向前進(jìn) 1 位，即：滿十六進(jìn)一;

具體來(lái)看就是：

1. 從右數(shù)第一個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 1;
2. 從右數(shù)第二個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 16;
3. 從右數(shù)第三個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 256;
4. 從右數(shù)第四個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 4096;

在十六進(jìn)制中，需要十六個(gè)數(shù)字來(lái)表示 0 到 15 這些數(shù)字，0 到 9 比較好處理，但是從 10 到 15，我們就需要找一些記號(hào)來(lái)表示，于是人們就想到用 A,B,C,D,E,F 這幾個(gè)字母來(lái)分別表示 10 到 15 這個(gè) 6 個(gè)數(shù)字。

十六進(jìn)制數(shù)據(jù)，使用后綴字母 H 來(lái)表示，有些場(chǎng)合也可以使用前綴 0x 來(lái)表示，本質(zhì)上沒(méi)有區(qū)別。例如：十六進(jìn)制數(shù)字 1A2BH(或者寫作 0x1A2B)，每一個(gè)數(shù)位上的權(quán)重如圖：

換算成十進(jìn)制數(shù)就是 6699(1 * 4096 + 10 * 256 + 2 * 16 + 11 * 1 = 6699)。

4. 擴(kuò)展到任意進(jìn)制

原理仍然相同：直接把十進(jìn)制中的 10 換成目標(biāo)進(jìn)制，例如 5 進(jìn)制：

1. 每一個(gè)數(shù)位上包括的數(shù)字為 0 到 4;
2. 每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)，是它右側(cè)數(shù)位的 5 倍;
3. 兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，相同數(shù)位上的數(shù)相加之和如果大于等于 5，就向前進(jìn) 1 位，即：滿五進(jìn)一;

具體來(lái)看就是：

1. 從右數(shù)第一個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 1;
2. 從右數(shù)第二個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 5;
3. 從右數(shù)第三個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 25;
4. 從右數(shù)第四個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 125;

再看一個(gè)圖加深印象：

三、從十進(jìn)制加法到二進(jìn)制加法

1. 十進(jìn)制加法

這個(gè)就不必多說(shuō)了，規(guī)則只有 2 條：

1. 兩個(gè)數(shù)，相同數(shù)位上的數(shù)字進(jìn)行相加;
2. 每一個(gè)數(shù)位上的相加結(jié)果，滿十進(jìn)一;

例如：

個(gè)位上：4 + 8，結(jié)果是 12，但是十進(jìn)制中沒(méi)有 12 這個(gè)數(shù)字，因此向左側(cè)的高位進(jìn)1，個(gè)位就剩下：12 - 10 = 2。

十位上：7 + 2，再加上進(jìn)位 1，結(jié)果是 10，但是十進(jìn)制中沒(méi)有 10 這個(gè)數(shù)字，因此向左側(cè)的高位進(jìn)1，十位變成：10 - 10 = 0。

百位上：1 加上進(jìn)位 1，結(jié)果是 2。

2. 二進(jìn)制加法

第 0 位：0 + 0 結(jié)果為 0;

第 1 位：1 + 0 結(jié)果為 1;

第 2 位：1 + 1 結(jié)果為 2，但是二進(jìn)制中沒(méi)有 2 這個(gè)數(shù)字，因此需要向左側(cè)的高位進(jìn) 1，于是第 2 位上就剩下 2 - 2 = 0。

第 3 位：1 + 1 等于 2，再加上進(jìn)位 1，結(jié)果就是 3，但是二進(jìn)制中沒(méi)有 3 這個(gè)數(shù)字，因此需要向左側(cè)的高位進(jìn) 1，于是第 3 位上就剩下 3 - 2 = 1。

第 4，5，6，7位計(jì)算均是如此。

3. 十六進(jìn)制加法

第 0 位：E + C，結(jié)果為 26，但是十六進(jìn)制中沒(méi)有 26 這個(gè)數(shù)字，因此需要向左側(cè)的高位進(jìn) 1，于是第 0 位就剩下 26 - 16 = A。

第 1 位：A + 1 等于 B，再加上進(jìn)位 1，結(jié)果就是 C，十六機(jī)制中有這個(gè)數(shù)字。

四、把負(fù)數(shù)計(jì)算轉(zhuǎn)換成正數(shù)計(jì)算

1. 原碼

原碼(true form)是一種計(jì)算機(jī)中對(duì)數(shù)字的二進(jìn)制定點(diǎn)表示方法。原碼表示法在數(shù)值前面增加了一位符號(hào)位(即最高位為符號(hào)位)：正數(shù)該位為0，負(fù)數(shù)該位為1(0有兩種表示：+0和-0)，其余位表示數(shù)值的大小。

例如，用 8 個(gè) bit (8 位二進(jìn)制數(shù))來(lái)表示一個(gè)數(shù)，+11 的原碼為 0000_1011，-11 的原碼就是 1000_1011。

2. 把負(fù)數(shù)計(jì)算變成正數(shù)計(jì)算

我們都知道，CPU 中有加法器，好像從來(lái)沒(méi)有聽說(shuō)過(guò)“減法器”。例如計(jì)算 5 + 8，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制來(lái)計(jì)算：

再來(lái)計(jì)算一下減法：5 - 8，對(duì)于 CPU 來(lái)說(shuō)，只會(huì)計(jì)算 5 + 8， 但是不會(huì)計(jì)算 5 - 8。

但是可以轉(zhuǎn)換一下思路，把減法變成加法 5 + (-8)，這樣不就可以計(jì)算了嗎?于是計(jì)算機(jī)先驅(qū)者就發(fā)明了反碼：

1. 正數(shù)的反碼：保持原碼不變;
2. 負(fù)數(shù)的反碼：原碼中符號(hào)位不變，其余全部取反(-8 的原碼是 1000_1000，反碼就是：1111_0111);

于是 5 + (-8)的計(jì)算過(guò)程就是：

此時(shí)，就完美解決了減法問(wèn)題，那么乘法(多加幾次)、除法(多減幾次)問(wèn)題也就跟著解決了。至于如何從數(shù)學(xué)的角度來(lái)證明，那就要問(wèn)那些數(shù)學(xué)家了!

3. 新問(wèn)題：如何表示0?

我們現(xiàn)在可以小結(jié)一下反碼的表示范圍(記住：第一位是符號(hào)位)：

1. 正數(shù)的表示范圍：0000_0000 ~ 0111_1111，也就是十進(jìn)制的 +0 ~ +127 這 128 個(gè)數(shù);
2. 負(fù)數(shù)的表示范圍：1000_0000 ~ 1111_1111，也就是十進(jìn)制的 -127 ~ -0 這 128 個(gè)數(shù);

有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：怎么存在 +0 和 -0 這兩個(gè)數(shù)?而且他們的編碼還不一樣：+0 對(duì)應(yīng) 0000_0000，-0 對(duì)應(yīng) 1111_1111。

CPU 雖然就是一個(gè)傻瓜，讓它干啥就干啥，但是 CPU 最不能容忍的就是不確定性!我們都知道 +0 == -0 == 0，它們是同一個(gè)數(shù)字，但是在二進(jìn)制編碼中，居然有兩個(gè)編碼來(lái)表示同一個(gè)數(shù)。

偉大的計(jì)算機(jī)先驅(qū)者又做了這樣一個(gè)決定：正數(shù)保持不變，負(fù)數(shù)整體減 1。

也就是說(shuō)：符號(hào)位不變，值整體加1，如下：

這樣就成功解決了 -0、+0 的問(wèn)題!

現(xiàn)在 一個(gè) 8 位的二進(jìn)制就可以表示的范圍是：-128 ~ 127，并且中間沒(méi)有任何重復(fù)、遺漏的數(shù)字。

既然每一個(gè)二進(jìn)制表示的值發(fā)生了變化，那么繼續(xù)稱之為反碼就不準(zhǔn)確了，此時(shí)給它們一個(gè)新的稱呼：補(bǔ)碼，也就是說(shuō)：上圖就變成了這樣：

小結(jié)一下補(bǔ)碼的定義：

1. 正數(shù)的補(bǔ)碼：保持原碼不變;
2. 負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼：原碼中符號(hào)位不變，其余先全部取反，然后再加1(例如：-8 的原碼是 1000_1000，補(bǔ)碼就是 1111_1000);

此時(shí)，我們僅僅是解決了二級(jí)制編碼的表示問(wèn)題，那么：補(bǔ)碼能直接參與運(yùn)算嗎?運(yùn)算結(jié)果會(huì)出現(xiàn)什么問(wèn)題?

4. 補(bǔ)碼的計(jì)算

我們先看一下這個(gè)問(wèn)題：假設(shè)現(xiàn)在時(shí)間是 1 點(diǎn)整，但是你的手表進(jìn)水了，它顯示的是 3 點(diǎn)整，現(xiàn)在你怎么把時(shí)間調(diào)整到 1 點(diǎn)的位置?

• 方法1：把時(shí)針逆時(shí)針撥動(dòng) 2 個(gè)小時(shí)(3 - 2 = 1);
• 方法2：把時(shí)針順時(shí)針撥動(dòng) 9 個(gè)小時(shí)到 12 點(diǎn)，然后再撥動(dòng) 1 個(gè)小時(shí)(3 + 10 = 1);

對(duì)于時(shí)鐘表盤來(lái)說(shuō)，每 12 個(gè)小時(shí)為一圈，可以認(rèn)為：-2 == 10，-1 = 11， -3 = 9，同樣的：-2 == 10， -2 == 22， -2 == 34，...

可以看到規(guī)律是：-2、10、22、34 這些數(shù)字對(duì) 12 取模都得到同一個(gè)數(shù)(取正數(shù))，在數(shù)學(xué)上，兩個(gè)整數(shù)除以“同一個(gè)整數(shù)”，若得相同余數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)同余。

表盤中的 12 就是這個(gè)“同一個(gè)整數(shù)”，可以看到這是一個(gè)可“溢出”的系統(tǒng)，-2、10、22、34 這幾個(gè)數(shù)在表盤上表示的是一樣的數(shù)，所以說(shuō)這幾個(gè)整數(shù)同余。

也就是說(shuō)：在計(jì)算的時(shí)候，可以用 10、22、34 這幾個(gè)數(shù)字來(lái)替換 -2，替換之后的計(jì)算結(jié)果是相同的。

那么對(duì)于一個(gè) 8 位 的二進(jìn)制數(shù)來(lái)說(shuō)，最多只有 8 位，在計(jì)算過(guò)程中，如果最高位產(chǎn)生了進(jìn)位，就會(huì)被丟棄，所以它也是一個(gè)可“溢出”的系統(tǒng)。那么這里的“同一個(gè)整數(shù)”是多少呢?

從前面的內(nèi)容中可以看到，使用補(bǔ)碼表示的 8 位二進(jìn)制數(shù)表示的范圍是 -128 ~ 127，一共是256 個(gè)數(shù)，所以如果對(duì) 256 取模，得到相同的余數(shù)，那么這些數(shù)就是同余數(shù)。

例如：-2 和 254 對(duì) 256 取模，得到相同的余數(shù)，因此它倆就是同余數(shù)，那么在計(jì)算的時(shí)候，就可以用 254 來(lái)代替 -2。

那么我們通過(guò)計(jì)算 3 + (-2) 來(lái)驗(yàn)證一下。

(1) 利用同余數(shù)來(lái)計(jì)算

3 + (-2) == 3 + 254 = 257

257 超過(guò)了最大的表示范圍，所以溢出，結(jié)果就是 257 對(duì) 256 取模，結(jié)果為 1。

(2) 直接用補(bǔ)碼來(lái)計(jì)算

3 的補(bǔ)碼是 0000_0011，-2 的補(bǔ)碼是 1111_1110，在計(jì)算的時(shí)候，把符號(hào)位也參與運(yùn)算：

結(jié)果也是 1，也就是說(shuō)：

在二進(jìn)制計(jì)算中，使用補(bǔ)碼來(lái)計(jì)算，“天然”就滿足了“同余定理”。

細(xì)心的讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了：-2 的二進(jìn)制補(bǔ)碼表示，與 254 的二進(jìn)制自然表示，它們的形式是一樣的!

這種“天然”性，是巧合?還是計(jì)算機(jī)前輩的設(shè)計(jì)結(jié)果?!

五、總結(jié)

這篇文章，我們探討了計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的軟件基石：二進(jìn)制系統(tǒng)，主要的目的是幫助你理解二進(jìn)制的表示、計(jì)算方式。