繼上篇文章介紹完了HashMap，這篇文章開始介紹Map系列另一個(gè)比較重要的類TreeMap。 大家也許能感覺到，網(wǎng)絡(luò)上介紹HashMap的文章比較多，但是介紹TreeMap反而不那么多，這里面是有原因：一方面HashMap的使用場(chǎng)景比較多；二是相對(duì)于HashMap來(lái)說(shuō)，TreeMap所用到的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜。 廢話不多說(shuō)，進(jìn)入正題。

簽名（signature）

public class TreeMap<K,V>
       extends AbstractMap<K,V>
       implements NavigableMap<K,V>, Cloneable, java.io.Serializable

可以看到，相比HashMap來(lái)說(shuō)，TreeMap多繼承了一個(gè)接口NavigableMap，也就是這個(gè)接口，決定了TreeMap與HashMap的不同：

HashMap的key是無(wú)序的，TreeMap的key是有序的

接口NavigableMap

首先看下NavigableMap的簽名

public interface NavigableMap<K,V> extends SortedMap<K,V>

發(fā)現(xiàn)NavigableMap繼承了SortedMap，再看SortedMap的簽名

SortedMap

public interface SortedMap<K,V> extends Map<K,V>

SortedMap就像其名字那樣，說(shuō)明這個(gè)Map是有序的。這個(gè)順序一般是指由Comparable接口提供的keys的自然序（natural ordering），或者也可以在創(chuàng)建SortedMap實(shí)例時(shí)，指定一個(gè)Comparator來(lái) 決定。 當(dāng)我們?cè)谟眉弦暯牵╟ollection views，與HashMap一樣，也是由entrySet、keySet與values方法提供）來(lái)迭代（iterate）一個(gè)SortedMap實(shí)例 時(shí)會(huì)體現(xiàn)出key的順序。 這里引申下關(guān)于Comparable與Comparator的區(qū)別（參考這里）：

• Comparable一般表示類的自然序，比如定義一個(gè)Student類，學(xué)號(hào)為默認(rèn)排序

• Comparator一般表示類在某種場(chǎng)合下的特殊分類，需要定制化排序。比如現(xiàn)在想按照Student類的age來(lái)排序

插入SortedMap中的key的類類都必須繼承Comparable類（或指定一個(gè)comparator），這樣才能確定如何比較（通過(guò)k1.compareTo(k2)或comparator.compare(k1, k2)）兩個(gè)key，否則，在插入時(shí)，會(huì)報(bào)ClassCastException的異常。 此為，SortedMap中key的順序性應(yīng)該與equals方法保持一致。也就是說(shuō)k1.compareTo(k2)或comparator.compare(k1, k2)為true時(shí)，k1.equals(k2)也 應(yīng)該為true。 介紹完了SortedMap，再來(lái)回到我們的NavigableMap上面來(lái)。 NavigableMap是JDK1.6新增的，在SortedMap的基礎(chǔ)上，增加了一些“導(dǎo)航方法”（navigation methods）來(lái)返回與搜索目標(biāo)最近的元素。例如下面這些方法：

• lowerEntry，返回所有比給定Map.Entry小的元素

• floorEntry，返回所有比給定Map.Entry小或相等的元素

• ceilingEntry，返回所有比給定Map.Entry大或相等的元素

• higherEntry，返回所有比給定Map.Entry大的元素

設(shè)計(jì)理念（design concept）

紅黑樹（Red–black tree）

TreeMap是用紅黑樹作為基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)的，紅黑樹是一種二叉搜索樹，讓我們?cè)谝黄鸹貞浵露嫠阉鳂涞囊恍┬再|(zhì)

二叉搜索樹

先看看二叉搜索樹（binary search tree，BST）長(zhǎng)什么樣呢？

相信大家對(duì)這個(gè)圖都不陌生，關(guān)鍵點(diǎn)是：

左子樹的值小于根節(jié)點(diǎn)，右子樹的值大于根節(jié)點(diǎn)。

二叉搜索樹的優(yōu)勢(shì)在于每進(jìn)行一次判斷就是能將問(wèn)題的規(guī)模減少一半，所以如果二叉搜索樹是平衡的話，查找元素的時(shí)間復(fù)雜度為log(n)，也就是樹的高度。 我這里想到一個(gè)比較嚴(yán)肅的問(wèn)題，如果說(shuō)二叉搜索樹將問(wèn)題規(guī)模減少了一半，那么三叉搜索樹不就將問(wèn)題規(guī)模減少了三分之二，這不是更好嘛，以此類推，我們還可以有四叉搜索樹，五叉搜索樹……對(duì)于更一般的情況：

n個(gè)元素，K叉樹搜索樹的K為多少時(shí)效率是***的？K＝2時(shí)嗎？

K 叉搜索樹

如果大家按照我上面分析，很可能也陷入一個(gè)誤區(qū)，就是

三叉搜索樹在將問(wèn)題規(guī)模減少三分之二時(shí)，所需比較操作的次數(shù)是兩次（二叉搜索樹再將問(wèn)題規(guī)模減少一半時(shí)，只需要一次比較操作）

我們不能把這兩次給忽略了，對(duì)于更一般的情況：

n個(gè)元素，K叉樹搜索樹需要的平均比較次數(shù)為k*log(n/k)。

對(duì)于極端情況k＝n時(shí)，K叉樹就轉(zhuǎn)化為了線性表了，復(fù)雜度也就是O(n)了，如果用數(shù)學(xué)角度來(lái)解這個(gè)問(wèn)題，相當(dāng)于：

n為固定值時(shí)，k取何值時(shí)，k*log(n/k)的取值最??？

k*log(n/k)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則可以轉(zhuǎn)化為ln(n)*k/ln(k)，ln(n)為常數(shù)，所以相當(dāng)于取k/ln(k)的極小值。這個(gè)問(wèn)題對(duì)于大一剛學(xué)高數(shù)的人來(lái)說(shuō)再簡(jiǎn)單不過(guò)了，我們這里直接看結(jié)果

當(dāng)k＝e時(shí)，k/ln(k)取最小值。

自然數(shù)e的取值大約為2.718左右，可以看到二叉樹基本上就是這樣***解了。在Nodejs的REPL中進(jìn)行下面的操作

function foo(k) {return k/Math.log(k);} 
> foo(2) 
2.8853900817779268 
> foo(3) 
2.730717679880512 
> foo(4) 
2.8853900817779268 
> foo(5) 
3.1066746727980594 

貌似k＝3時(shí)比k＝2時(shí)得到的結(jié)果還要小，那也就是說(shuō)三叉搜索樹應(yīng)該比二叉搜索樹更好些呀，但是為什么二叉樹更流行呢？后來(lái)在***的stackoverflow上找到了答案，主旨如下：

現(xiàn)在的CPU可以針對(duì)二重邏輯（binary logic）的代碼做優(yōu)化，三重邏輯會(huì)被分解為多個(gè)二重邏輯。

這樣也就大概能理解為什么二叉樹這么流行了，就是因?yàn)檫M(jìn)行一次比較操作，我們最多可以將問(wèn)題規(guī)模減少一半。 好了這里扯的有點(diǎn)遠(yuǎn)了，我們?cè)倩氐郊t黑樹上來(lái)。

紅黑樹性質(zhì)

先看看紅黑樹的樣子：

上圖是從wiki截來(lái)的，需要說(shuō)明的一點(diǎn)是：

葉子節(jié)點(diǎn)為上圖中的NIL節(jié)點(diǎn)，國(guó)內(nèi)一些教材中沒有這個(gè)NIL節(jié)點(diǎn)，我們?cè)诋媹D時(shí)有時(shí)也會(huì)省略這些NIL節(jié)點(diǎn)，但是我們需要明確，當(dāng)我們說(shuō)葉子節(jié)點(diǎn)時(shí)，指的就是這些NIL節(jié)點(diǎn)。

紅黑樹通過(guò)下面5條規(guī)則，保證了樹是平衡的：

1. 樹的節(jié)點(diǎn)只有紅與黑兩種顏色

2. 根節(jié)點(diǎn)為黑色的

3. 葉子節(jié)點(diǎn)為黑色的

4. 紅色節(jié)點(diǎn)的字節(jié)點(diǎn)必定是黑色的

5. 從任意一節(jié)點(diǎn)出發(fā)，到其后繼的葉子節(jié)點(diǎn)的路徑中，黑色節(jié)點(diǎn)的數(shù)目相同

滿足了上面5個(gè)條件后，就能夠保證：根節(jié)點(diǎn)到葉子節(jié)點(diǎn)的最長(zhǎng)路徑不會(huì)大于根節(jié)點(diǎn)到葉子最短路徑的2倍。 其實(shí)這個(gè)很好理解，主要是用了性質(zhì)4與5，這里簡(jiǎn)單說(shuō)下：

假設(shè)根節(jié)點(diǎn)到葉子節(jié)點(diǎn)最短的路徑中，黑色節(jié)點(diǎn)數(shù)目為B，那么根據(jù)性質(zhì)5，根節(jié)點(diǎn)到葉子節(jié)點(diǎn)的最長(zhǎng)路徑中，黑色節(jié)點(diǎn)數(shù)目也是B，最長(zhǎng)的情況就是每?jī)蓚€(gè)黑色節(jié)點(diǎn)中間有個(gè)紅色節(jié)點(diǎn)（也就是紅黑相間的情況），所以紅色節(jié)點(diǎn)最多為B－1個(gè)。這樣就能證明上面的結(jié)論了。

紅黑樹操作

關(guān)于紅黑樹的插入、刪除、左旋、右旋這些操作，我覺得***可以做到可視化，文字表達(dá)比較繁瑣，我這里就不在獻(xiàn)丑了，網(wǎng)上能找到的也比較多，像v_July_v的《教你透徹了解紅黑樹》。我這里推薦個(gè)swf教學(xué)視頻（視頻為英文，大家不要害怕，重點(diǎn)是看圖??），7分鐘左右，大家可以參考。 這里還有個(gè)交互式紅黑樹的可視化網(wǎng)頁(yè)，大家可以上去自己操作操作，插入幾個(gè)節(jié)點(diǎn)，刪除幾個(gè)節(jié)點(diǎn)玩玩，看看左旋右旋是怎么玩的。

源碼剖析

由于紅黑樹的操作我這里不說(shuō)了，所以這里基本上也就沒什么源碼可以講了，因?yàn)檫@里面重要的算法都是From CLR，這里的CLR是指Cormen, Leiserson, Rivest，他們是算法導(dǎo)論的作者，也就是說(shuō)TreeMap里面算法都是參照算法導(dǎo)論的偽代碼。 因?yàn)榧t黑樹是平衡的二叉搜索樹，所以其put（包含update操作）、get、remove的時(shí)間復(fù)雜度都為log(n)。

總結(jié)

到目前為止，TreeMap與HashMap的的實(shí)現(xiàn)算是都介紹完了，可以看到它們實(shí)現(xiàn)的不同，決定了它們應(yīng)用場(chǎng)景的不同：

• TreeMap的key是有序的，增刪改查操作的時(shí)間復(fù)雜度為O(log(n))，為了保證紅黑樹平衡，在必要時(shí)會(huì)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)
• HashMap的key是無(wú)序的，增刪改查操作的時(shí)間復(fù)雜度為O(1)，為了做到動(dòng)態(tài)擴(kuò)容，在必要時(shí)會(huì)進(jìn)行resize。

另外，我這里沒有解釋具體代碼，難免有些標(biāo)題黨了，請(qǐng)大家見諒，后面理解的更深刻了再來(lái)填坑。