幾大最短路徑算法比較
最短路徑問題是圖論研究中的一個經(jīng)典算法問題，旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑。
算法具體的形式包括：
確定起點的最短路徑問題：即已知起始結點，求最短路徑的問題。
確定終點的最短路徑問題：與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同，在有向圖中該問題等同于把所有路徑方向反轉的確定起點的問題。
確定起點終點的最短路徑問題：即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。
全局最短路徑問題：求圖中所有的最短路徑。
Floyd
求多源、無負權邊的最短路。用矩陣記錄圖。時效性較差，時間復雜度O(V^3)。
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題。
Floyd-Warshall算法的時間復雜度為O(N^3)，空間復雜度為O(N^2)。
Floyd-Warshall的原理是動態(tài)規(guī)劃：
設Di,j,k為從i到j的只以(1..k)集合中的節(jié)點為中間節(jié)點的最短路徑的長度。
若最短路徑經(jīng)過點k，則Di,j,k = Di,k,k-1 + Dk,j,k-1；
若最短路徑不經(jīng)過點k，則Di,j,k = Di,j,k-1。
因此，Di,j,k = min(Di,k,k-1 + Dk,j,k-1 , Di,j,k-1)。
在實際算法中，為了節(jié)約空間，可以直接在原來空間上進行迭代，這樣空間可降至二維。
Floyd-Warshall算法的描述如下：
- for k ← 1 to n do
- for i ← 1 to n do
- for j ← 1 to n do
- if (Di,k + Dk,j < Di,j) then
- Di,j ← Di,k + Dk,j;
其中Di,j表示由點i到點j的代價，當Di,j為 ∞ 表示兩點之間沒有任何連接。
Dijkstra
求單源、無負權的最短路。時效性較好，時間復雜度為O（V*V+E）。
源點可達的話，O（V*lgV+E*lgV）=>O（E*lgV）。
當是稀疏圖的情況時，此時E=V*V/lgV，所以算法的時間復雜度可為O（V^2） 。若是斐波那契堆作優(yōu)先隊列的話，算法時間復雜度，則為O（V*lgV + E）。
Bellman-Ford
求單源最短路，可以判斷有無負權回路（若有，則不存在最短路），時效性較好，時間復雜度O（VE）。
Bellman-Ford算法是求解單源最短路徑問題的一種算法。
單源點的最短路徑問題是指：給定一個加權有向圖G和源點s，對于圖G中的任意一點v，求從s到v的最短路徑。
與Dijkstra算法不同的是，在Bellman-Ford算法中，邊的權值可以為負數(shù)。設想從我們可以從圖中找到一個環(huán)路（即從v出發(fā)，經(jīng)過若干個點之后又回到v）且這個環(huán)路中所有邊的權值之和為負。那么通過這個環(huán)路，環(huán)路中任意兩點的最短路徑就可以無窮小下去。如果不處理這個負環(huán)路，程序就會永遠運行下去。 而Bellman-Ford算法具有分辨這種負環(huán)路的能力。
SPFA
是Bellman-Ford的隊列優(yōu)化，時效性相對好，時間復雜度O（kE）。（k<<V）。
與Bellman-ford算法類似，SPFA算法采用一系列的松弛操作以得到從某一個節(jié)點出發(fā)到達圖中其它所有節(jié)點的最短路徑。所不同的是，SPFA算法通過維護一個隊列，使得一個節(jié)點的當前最短路徑被更新之后沒有必要立刻去更新其他的節(jié)點，從而大大減少了重復的操作次數(shù)。
SPFA算法可以用于存在負數(shù)邊權的圖，這與dijkstra算法是不同的。
與Dijkstra算法與Bellman-ford算法都不同，SPFA的算法時間效率是不穩(wěn)定的，即它對于不同的圖所需要的時間有很大的差別。
在最好情形下，每一個節(jié)點都只入隊一次，則算法實際上變?yōu)閺V度優(yōu)先遍歷，其時間復雜度僅為O(E)。另一方面，存在這樣的例子，使得每一個節(jié)點都被入隊(V-1)次，此時算法退化為Bellman-ford算法，其時間復雜度為O(VE)。
SPFA算法在負邊權圖上可以完全取代Bellman-ford算法，另外在稀疏圖中也表現(xiàn)良好。但是在非負邊權圖中，為了避免最壞情況的出現(xiàn)，通常使用效率更加穩(wěn)定的Dijkstra算法，以及它的使用堆優(yōu)化的版本。通常的SPFA算法在一類網(wǎng)格圖中的表現(xiàn)不盡如人意。
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