Transformer的技能樹(shù)是越來(lái)越厲害了。

來(lái)自馬薩諸塞大學(xué)、谷歌和伊利諾伊大學(xué)厄巴納-香檳分校（UIUC）的研究人員發(fā)表了一篇論文，利用大語(yǔ)言模型自動(dòng)生成定理的完整證明。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2303.04910.pdf

這篇工作以Baldur（北歐神話(huà)中雷神Thor的兄弟）命名，首次證明了使用Transformer生成全證明是可能的，并且當(dāng)為模型提供額外的上下文時(shí)，還可以改進(jìn)模型先前的證明。

文章發(fā)表于2023年12月在舊金山舉行的ESEC/FSE（ACM歐洲軟件工程聯(lián)合會(huì)議和軟件工程基礎(chǔ)研討會(huì)）上，并獲得了杰出論文獎(jiǎng)（Distinguished Paper award）。

眾所周知，軟件存在bug（廢話(huà)），這在一般應(yīng)用程序或者網(wǎng)站上問(wèn)題不大，但對(duì)于比如加密協(xié)議、醫(yī)療設(shè)備和航天飛機(jī)等關(guān)鍵系統(tǒng)背后的軟件而言，必須確保沒(méi)有錯(cuò)誤。

——一般的代碼審查和測(cè)試并不能給出這個(gè)保證，這需要形式驗(yàn)證（formal verification）。

對(duì)于formal verification，ScienceDirect給出的解釋為：

the process of mathematically checking that the behavior of a system, described using a formal model, satisfies a given property, also described using a formal model

指的是從數(shù)學(xué)上檢查，使用形式模型描述的系統(tǒng)行為，是否滿(mǎn)足給定屬性的過(guò)程。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是，利用數(shù)學(xué)分析的方法，通過(guò)算法引擎建立模型，對(duì)待測(cè)設(shè)計(jì)的狀態(tài)空間進(jìn)行窮盡分析的驗(yàn)證。

形式化軟件驗(yàn)證，對(duì)于軟件工程師來(lái)說(shuō)是最具挑戰(zhàn)性的任務(wù)之一。例如CompCert，使用Coq交互式定理證明器驗(yàn)證的C編譯器，是無(wú)處不在的GCC和LLVM等使用的唯一編譯器。

然而，手動(dòng)形式驗(yàn)證（編寫(xiě)證明）的成本卻相當(dāng)巨大，——C編譯器的證明是編譯器代碼本身的三倍以上。

所以，形式驗(yàn)證本身是一項(xiàng)“勞動(dòng)密集型”的任務(wù)，研究人員也在探索自動(dòng)化的方法。

比如Coq和Isabelle等證明助手，通過(guò)訓(xùn)練一個(gè)模型來(lái)一次預(yù)測(cè)一個(gè)證明步驟，并使用模型搜索可能的證明空間。

而本文的Baldur首次在這個(gè)領(lǐng)域引入了大語(yǔ)言模型的能力，在自然語(yǔ)言文本和代碼上訓(xùn)練，并在證明上進(jìn)行微調(diào)，

Baldur可以一次就生成定理的完整證明，而不是一次一個(gè)步驟。

如上圖所示，僅使用定理語(yǔ)句作為證明生成模型的輸入，然后從模型中抽取證明嘗試，并使用Isabelle執(zhí)行證明檢查。

如果Isabelle接受了證明嘗試而沒(méi)有錯(cuò)誤，就說(shuō)明證明成功；否則從證明生成模型中抽取另一個(gè)證明嘗試。

Baldur在6336個(gè)Isabelle/HOL定理及其證明的基準(zhǔn)上進(jìn)行評(píng)估，從經(jīng)驗(yàn)上證明了完整證明生成、修復(fù)和添加上下文的有效性。

另外，這個(gè)工具之所以叫Baldur，可能是因?yàn)楫?dāng)前最好的自動(dòng)證明生成工具叫做Thor。

Thor的證明率更高（57%），它使用較小的語(yǔ)言模型結(jié)合搜索可能證明空間的方法預(yù)測(cè)證明的下一步，而B(niǎo)aldur的優(yōu)勢(shì)在于它能夠生成完整的證明。

不過(guò)Thor和Baldur兩兄弟也可以一起工作，這樣可能把證明率提升到接近66%。

自動(dòng)生成完整證明

Baldur由Google的大語(yǔ)言模型Minerva提供支持，Minerva在科學(xué)論文和包含數(shù)學(xué)表達(dá)式的網(wǎng)頁(yè)上進(jìn)行訓(xùn)練，并對(duì)有關(guān)證明和定理的數(shù)據(jù)進(jìn)行了微調(diào)。

Baldur可以與定理證明助手Isabelle合作，Isabelle對(duì)證明結(jié)果進(jìn)行檢查。當(dāng)給定一個(gè)定理陳述時(shí)，Baldur幾乎在41%的時(shí)間內(nèi)能夠生成一個(gè)完整的證明。

為了進(jìn)一步提高Baldur的性能，研究人員向模型提供了額外的上下文信息（比如其他定義、或理論文件中的定理陳述），這使證明率提高到47.5%。

這意味著B(niǎo)aldur能夠獲取上下文，并使用它來(lái)預(yù)測(cè)新的正確證明，——類(lèi)似于程序員，當(dāng)了解了相關(guān)方法和代碼之后，他們更有可能修復(fù)程序中的錯(cuò)誤。

下面舉個(gè)例子（fun_sum_commute定理）：

這個(gè)定理來(lái)自形式證明檔案中一個(gè)名為多項(xiàng)式的項(xiàng)目。

當(dāng)人工編寫(xiě)證明的時(shí)候，會(huì)區(qū)分兩種情況：集合是有限的或者不是有限的：

所以，對(duì)于模型來(lái)說(shuō)，輸入是定理陳述，而目標(biāo)輸出是這個(gè)人工編寫(xiě)的證明。

Baldur認(rèn)識(shí)到這里需要?dú)w納，并應(yīng)用了一種特殊的歸納法則，稱(chēng)為infinite_finite_induct，遵循與人類(lèi)書(shū)面證明相同的總體方法，但更簡(jiǎn)潔。

而因?yàn)樾枰獨(dú)w納，Isabelle使用的Sledgehammer默認(rèn)無(wú)法證明這個(gè)定理。

訓(xùn)練

為了訓(xùn)練證明生成模型，研究人員構(gòu)建了一個(gè)新的證明生成數(shù)據(jù)集。

現(xiàn)有數(shù)據(jù)集包含單個(gè)證明步驟的示例，每個(gè)訓(xùn)練示例包括證明狀態(tài)（輸入）和要應(yīng)用的下一個(gè)證明步驟（目標(biāo)）。

給定一個(gè)包含單個(gè)證明步驟的數(shù)據(jù)集，這里需要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)新數(shù)據(jù)集，以便訓(xùn)練模型一次預(yù)測(cè)整個(gè)證明。

研究人員從數(shù)據(jù)集中提取每個(gè)定理的證明步驟，并將它們連接起來(lái)以重建原始證明。

證明修復(fù)

還是以上面的fun_sum_commute為例，

Baldur首次生成的證明嘗試，在證明檢查器中失敗。

Baldur試圖應(yīng)用歸納法，但未能首先將證明分解為兩種情況（有限集與無(wú)限集）。Isabelle返回以下錯(cuò)誤消息：

為了從這些字符串中派生出一個(gè)證明修復(fù)訓(xùn)練示例，這里將定理陳述、失敗的證明嘗試和錯(cuò)誤消息連接起來(lái)作為輸入，并使用正確的人工編寫(xiě)的證明作為目標(biāo)。

上圖詳細(xì)介紹了訓(xùn)練數(shù)據(jù)的創(chuàng)建過(guò)程。

使用證明生成模型，針對(duì)原始訓(xùn)練集中的每個(gè)問(wèn)題，對(duì)溫度為0的證明進(jìn)行采樣。

使用校對(duì)助手，記錄所有失敗的校樣及其錯(cuò)誤消息，然后，繼續(xù)構(gòu)建新的證明修復(fù)訓(xùn)練集。

對(duì)于每個(gè)原始訓(xùn)練示例，將定理語(yǔ)句、證明生成模型生成的（不正確的）候選證明以及相應(yīng)的錯(cuò)誤消息連接起來(lái)，以獲得新訓(xùn)練示例的輸入序列。

添加上下文

在定理陳述之前添加理論文件的行，作為額外的上下文。比如下圖這樣：

Baldur中帶有上下文的證明生成模型，可以利用這些附加信息。出現(xiàn)在fun_sum_commute定理語(yǔ)句中的字符串，在這個(gè)上下文中再次出現(xiàn)，因此圍繞它們的附加信息可以幫助模型做出更好的預(yù)測(cè)。

上下文可以是陳述（定理、定義、證明），還可以是自然語(yǔ)言注釋。

為了利用LLM的可用輸入長(zhǎng)度，研究人員首先從同一個(gè)理論文件中添加多達(dá)50個(gè)語(yǔ)句。

在訓(xùn)練過(guò)程中，首先對(duì)所有這些語(yǔ)句進(jìn)行標(biāo)記化，然后截?cái)嘈蛄械淖髠?cè)以適應(yīng)輸入長(zhǎng)度。

上圖展示了有上下文和無(wú)上下文的生成模型的證明成功率與證明嘗試次數(shù)的關(guān)系圖。我們可以看出，具有上下文的證明生成模型始終優(yōu)于普通生成模型。

上圖展示了不同尺寸和溫度模型的已驗(yàn)證定理與推理成本之比。

我們可以看到生成模型的證明成功率，以及8B模型和62B模型的上下文與證明嘗試次數(shù)的關(guān)系。

具有上下文的62B證明生成模型優(yōu)于具有上下文的8B模型。

不過(guò)，作者在這里強(qiáng)調(diào)，由于這些實(shí)驗(yàn)的成本較高，他們也無(wú)法調(diào)整超參數(shù)，62B模型如果經(jīng)過(guò)優(yōu)化可能會(huì)表現(xiàn)得更好。