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困擾數(shù)學家百年的微分方程難題，被MIT解決了！

這個微分方程可以用來模擬神經(jīng)元間通過突觸的相互作用方式，換言之就是大腦傳遞信息的過程?，F(xiàn)實生活中有諸多應用場景，比如自動駕駛、大腦和心臟的監(jiān)測等。

然而，以前求解這個微分方程的過程比較復雜，計算量還會隨著數(shù)據(jù)的增加而暴增——

模擬幾個神經(jīng)元之間的信息傳遞還好。但如果像人腦一樣，有幾百億個神經(jīng)元、幾百萬億個突觸呢？

現(xiàn)在，研究人員終于找到了這個微分方程的近似解析解，一下子將計算速度提升了好幾倍。

要知道，論文第一作者表示，從1907年以來，就一直沒有人能找到這個微分方程的解析解。

牽一發(fā)而動全身，論文第一作者還放話稱：

由數(shù)十億個神經(jīng)元和數(shù)萬億個突觸組成的大腦動力學，我們現(xiàn)在也可以模擬了！

還有網(wǎng)友表示：

這將會改善神經(jīng)網(wǎng)絡對大規(guī)模數(shù)據(jù)計算的適應能力。點個贊！

相關論文已發(fā)表在最新一期的Nature MI上，立刻引發(fā)了不少關注：

到底是什么樣的一個數(shù)學難題，能夠讓網(wǎng)友產(chǎn)生這樣大的反應，一起來看看~

解決了一個什么樣的難題？

這次MIT的突破，在于找到了兩個神經(jīng)元之間通過突觸相互作用微分方程的近似解析解。

突觸，即一個神經(jīng)元的沖動傳到另一個神經(jīng)元或另一細胞間的相互接觸的結(jié)構(gòu)。兩個神經(jīng)元之間神經(jīng)沖動，則是由突觸前末梢，傳遞給突觸后神經(jīng)元的。

要模擬神經(jīng)元間通過突觸相互作用的過程，就需要模擬傳導的動作電位。

MIT研究人員先是用去年做出來的“液體”神經(jīng)網(wǎng)絡 （Liquid Time-constant Networks，簡稱LTC）模擬了這一現(xiàn)象。

如下圖，x(t)就是研究希望求解的突觸后神經(jīng)元電位，但之前它需要通過直接求解微分方程來計算，也就是圖中左邊的一大堆方程：

BUT，他們很快發(fā)現(xiàn)，LTC神經(jīng)網(wǎng)絡模型雖然模擬得好，但常微分方程（ODE）計算還是不夠快，通常需要結(jié)合ODE求解器來搞定。

即通過左邊的一堆公式，雖然在給定時間t的情況下也能算出x(t)來，但它不僅算得慢，而且誤差還會隨著求解過程中的迭代計算一步步被放大。

但如果能求出x(t)的解析解，也就是求出等式右邊不包含x(t)這個變量的公式，那么計算效率就能得到成倍的提升。

然而，求解這個常微分方程dv/dt=?glv(t)+S(t)的方法，從1907年提出以來還沒有人求出過它的解析解。

在通過一番計算后，研究人員終于得出了這個微分方程的近似解析解，能很好地近似出x(t)的數(shù)值：

最關鍵的是解析解能“一步到位”地求出結(jié)果，研究人員表示這比正常求微分方程模型快上1~5倍。

依靠這個新的近似解析解，研究人員提出了一種名叫CfC （closed-form continuous-depth networks，閉式連續(xù)深度神經(jīng)網(wǎng)絡）的模型，進一步提升了計算效率、降低了微分方程求解帶來的近似誤差（approximation error）。

求解出來與原微分方程的相似度也極高：

所以CfC的提出，究竟解決了什么問題？

作者：下一步建立大腦計算模型

提到CfC的作用，還得先說回它的基礎，也就是MIT去年建立的“液體”神經(jīng)網(wǎng)絡（LTC）。

△圖源：MIT

當時“液體”神經(jīng)網(wǎng)絡的提出，是用于簡化如視頻處理、金融數(shù)據(jù)和醫(yī)療診斷這類與連續(xù)時間強相關的問題計算。

這類問題往往與時間的相關度很高，這也導致它們的變化情況難以預測，往往需要求解非常復雜的偏微分方程。

“液體”神經(jīng)網(wǎng)絡就是為了解決這一點出現(xiàn)的，確實也提升了這類場景的計算效率。

然而，建立“液體”神經(jīng)網(wǎng)絡的靈感雖然來自小物種的大腦，具有很強的靈活性和適應能力，不過計算量仍然不算低——

一旦增加神經(jīng)元和突觸的數(shù)量，計算機可能就因為數(shù)據(jù)計算量過大“撐不住”了。

這不，今年MIT就帶著CfC神經(jīng)網(wǎng)絡來了！

與“Liquid”神經(jīng)網(wǎng)絡相比，CfC可謂去粗取精，它既保留了“Liquid”網(wǎng)絡的靈活、因果、穩(wěn)定和可解釋性，同時數(shù)量級更快、可擴展性更高。

換句話說，就是CfC更快更強了，而這也意味著它能夠適用于更多任務。

論文中的測試結(jié)果顯示，CfC在一系列任務中表現(xiàn)都要優(yōu)于SOTA神經(jīng)網(wǎng)絡。

比如說在一項醫(yī)學預測任務中，對8000名患者進行抽樣調(diào)查，新模型的速度要比連續(xù)潛伏模型快220倍。

其中，CfC在從運動傳感器識別人類活動、建立模擬步行機器人的物理動力學模型以及基于事件的連續(xù)圖像處理方面具有相當高的加速度和性能。

而這對應到現(xiàn)實的實際應用，就是無人駕駛、無人機導航或者各類預測任務。

值得一提的是，據(jù)MIT消息，此前也已有證據(jù)證明，CfC神經(jīng)網(wǎng)絡能夠在沒有額外學習的情況下將所學技能遷移到一個全新的環(huán)境中，這恰恰是人工智能研究最基本的挑戰(zhàn)之一。

（沒錯，CfC也是不容小覷的）

這一步研究團隊解決了神經(jīng)元之間如何相互作用的描述，那下一步準備干啥？他們立了個flag：

希望通過測量數(shù)百萬個神經(jīng)元連接，建立大腦動力學模型。

論文的第一作者，同時也是MIT CSAIL研究所附屬機構(gòu)的Ramin Hasani也表示：

一旦我們對神經(jīng)元和突觸的聯(lián)系有了一個解析解描述，我們就可以用數(shù)十億個細胞建立大腦的計算模型了。

據(jù)神經(jīng)學家估計，人腦神經(jīng)元數(shù)量在1000億個左右，不知道團隊是否會挑戰(zhàn)“模擬人類大腦”這一難題（手動狗頭）。

目前CfC模型已經(jīng)開源，想要拿它用來模擬一些問題計算的小伙伴，可以去看看了~

CfC項目地址：?https://github.com/raminmh/CfC?

論文地址：
?https://www.nature.com/articles/s42256-022-00556-7