手寫一個(gè)簡單的Database7
Part 7 B-Tree簡介
B-tree是SQLite用來表示表和索引的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，所以B-tree是非常中心的想法。這個(gè)主題主要是介紹B-tree數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，所以不會(huì)有任何的代碼。
為什么說對(duì)于數(shù)據(jù)庫來說，樹是非常好的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)呢？
- 查找特定的value很快（對(duì)數(shù)時(shí)間花銷，loga N）
- 插入一行或者對(duì)查詢到的數(shù)據(jù)刪除很快（再平衡使用常量時(shí)間）
- 遍歷一個(gè)范圍內(nèi)的value很快（不像hash map）
- B-tree不同于二叉樹（“B”可能代表發(fā)明人的名字，但也可以代表“Balanced”）。這里是一個(gè)B-tree例子：
B-Tree 例子(https://en.wikipedia.org/wiki/File:B-tree.svg)
不像二叉樹每個(gè)節(jié)點(diǎn)只能有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)，B-tree的每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以有兩個(gè)以上的子節(jié)點(diǎn)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多可以有 m 個(gè)子節(jié)點(diǎn)，其中 m 叫做樹的“order”（或者叫“階”）。為了保持樹的盡量平衡，我們還要求節(jié)點(diǎn)必須至少有 m / 2 個(gè)子節(jié)點(diǎn)（四舍五入）。
但還有一些例外：
- 葉子節(jié)點(diǎn)沒有子節(jié)點(diǎn)
- 根節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)數(shù)可以少于m，但至少要有兩個(gè)
- 如果根節(jié)點(diǎn)也是葉子節(jié)點(diǎn)（樹只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)），那它有0個(gè)子節(jié)點(diǎn)
上面的描述的是一個(gè)B-tree，SQLite用它來存儲(chǔ)索引。為了存儲(chǔ)表數(shù)據(jù)，SQLites使用一種B-tree的變體，稱為B+tree。
B-tree | B+ tree | |
發(fā)音 | “Bee Tree” | “Bee Plus Tree” |
用來存儲(chǔ) | 索引 | 表 |
內(nèi)部節(jié)點(diǎn)是否存儲(chǔ)key | 是 | 是 |
內(nèi)部節(jié)點(diǎn)是否存儲(chǔ)value | 是 | 否 |
每個(gè)節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)數(shù) | 少 | 多 |
內(nèi)部節(jié)點(diǎn) vs 葉子節(jié)點(diǎn) | 相同結(jié)構(gòu) | 不同結(jié)構(gòu) |
在我們開始實(shí)現(xiàn)索引之前，我將只討論B+tree，但這里將其稱為 B-tree 或者 btree。
有子節(jié)點(diǎn)（children）的節(jié)點(diǎn)被稱為“內(nèi)部”節(jié)點(diǎn)（internal node），內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和葉子節(jié)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)上不同：
m階tree | 內(nèi)部節(jié)點(diǎn) | 葉子節(jié)點(diǎn) |
存儲(chǔ) | key和指向子節(jié)點(diǎn)的指針 | key和value |
key的數(shù)目 | 最多m-1個(gè) | 越多越好 |
指針的數(shù)目 | keys + 1 | 無 |
value的數(shù)目 | 無 | 與key的數(shù)目相同 |
Key的用途 | 用來路由 | 與value成對(duì)存儲(chǔ) |
存儲(chǔ)value? | 否 | 是 |
這里通過一個(gè)例子來看一下，當(dāng)插入一個(gè)元素時(shí)，B-tree是怎樣發(fā)生結(jié)構(gòu)變化的。為了讓事情看起來更容易理解，這棵B-tree的階（order）設(shè)置為3(m=3)，也就是說：
- 每個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)最多有三個(gè)子節(jié)點(diǎn)(m)
- 每個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)最多有兩個(gè)key
- 每個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)至少兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)（m-1）
- 每個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)至少一個(gè)key
一棵空樹只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)：根節(jié)點(diǎn)。根節(jié)點(diǎn)最開始也作為葉子節(jié)點(diǎn)，有0個(gè)鍵值對(duì)（key/value）：
空的btree
如果我們插入兩個(gè)鍵值對(duì)（超過兩個(gè)鍵值對(duì)，節(jié)點(diǎn)需要分裂，參考上面規(guī)則），他們會(huì)按順序排序存放在葉子節(jié)點(diǎn)中。
一個(gè)節(jié)點(diǎn)的btree
我們假設(shè)了節(jié)點(diǎn)的容量是兩個(gè)鍵值對(duì)兒。當(dāng)我們插入另外一個(gè)的時(shí)候，就不得不分裂葉子節(jié)點(diǎn)了，分裂后的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)每個(gè)存放之前一半的鍵值對(duì)。分裂后的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)都變成了內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，同時(shí)也變成了一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)，這個(gè)新的節(jié)點(diǎn)變成了根節(jié)點(diǎn)。
兩層的btree
圖中的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)（也是根節(jié)點(diǎn)）有一個(gè)key和兩個(gè)指針指向子節(jié)點(diǎn)（就是那兩條線）。如果我們想查找一個(gè)key，key小于或等于5，我們查看左子樹。如果查找的key大于5，就查看右子樹?，F(xiàn)在，準(zhǔn)備插入一個(gè)新的key "2"。首先，我們查找它將位于哪個(gè)葉節(jié)點(diǎn)（如果它在樹中存在的話），這樣就到達(dá)了左側(cè)葉子節(jié)點(diǎn)。這個(gè)節(jié)點(diǎn)是滿的，所以把這個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分裂（split），并在父節(jié)點(diǎn)創(chuàng)建新的條目。
四節(jié)點(diǎn)的btree
現(xiàn)在繼續(xù)增加key，18 和 21 ?，F(xiàn)在又到了不得不分裂的情況，但是在父節(jié)點(diǎn)中已經(jīng)沒有空間來增加新的鍵值對(duì)兒了。
內(nèi)部節(jié)點(diǎn)沒有空間
解決方法就是分裂根節(jié)點(diǎn)為兩個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，然后創(chuàng)建一個(gè)新的根節(jié)點(diǎn)作為兩個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。
三層的btree
樹只是在我們分裂根節(jié)點(diǎn)的時(shí)候才會(huì)增加深度。每個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)都有相同的深度和接近相同的數(shù)量的鍵值對(duì)兒，所以樹能夠保持平衡和快速的進(jìn)行查找。
我暫時(shí)先不討論從樹中刪除鍵的操作，推遲到實(shí)現(xiàn)插入操作以后。
當(dāng)我們實(shí)現(xiàn)這個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)page。根節(jié)點(diǎn)將在page0中存在。節(jié)點(diǎn)中的子節(jié)點(diǎn)指針將簡單的使用包含子節(jié)點(diǎn)的page number。
