首先要說，聚類屬于機器學(xué)習(xí)的無監(jiān)督學(xué)習(xí)，而且也分很多種方法，比如大家熟知的有K-means。層次聚類也是聚類中的一種，也很常用。下面我先簡單回顧一下K-means的基本原理，然后慢慢引出層次聚類的定義和分層步驟，這樣更有助于大家理解。

層次聚類和K-means有什么不同？

K-means 工作原理可以簡要概述為：

• 決定簇數(shù)（k）
• 從數(shù)據(jù)中隨機選取 k 個點作為質(zhì)心
• 將所有點分配到最近的聚類質(zhì)心
• 計算新形成的簇的質(zhì)心
• 重復(fù)步驟 3 和 4

這是一個迭代過程，直到新形成的簇的質(zhì)心不變，或者達(dá)到最大迭代次數(shù)。

但是 K-means 是存在一些缺點的，我們必須在算法開始前就決定簇數(shù) K 的數(shù)量，但實際我們并不知道應(yīng)該有多少個簇，所以一般都是根據(jù)自己的理解先設(shè)定一個值，這就可能導(dǎo)致我們的理解和實際情況存在一些偏差。

層次聚類完全不同，它不需要我們開始的時候指定簇數(shù)，而是先完整的形成整個層次聚類后，通過決定合適的距離，自動就可以找到對應(yīng)的簇數(shù)和聚類。

什么是層次聚類？

下面我們由淺及深的介紹什么是層次聚類，先來一個簡單的例子。

假設(shè)我們有以下幾點，我們想將它們分組：

我們可以將這些點中的每一個分配給一個單獨的簇，就是4個簇（4種顏色）：

然后基于這些簇的相似性（距離），將最相似的（距離最近的）點組合在一起并重復(fù)這個過程，直到只剩下一個集群：

上面本質(zhì)上就是在構(gòu)建一個層次結(jié)構(gòu)。先了解到這里，后面我們詳細(xì)介紹它的分層步驟。

層次聚類的類型

主要有兩種類型的層次聚類：

• 凝聚層次聚類
• 分裂層次聚類

凝聚層次聚類

先讓所有點分別成為一個單獨的簇，然后通過相似性不斷組合，直到最后只有一個簇為止，這就是凝聚層次聚類的過程，和我們上面剛剛說的一致。

分裂層次聚類

分裂層次聚類正好反過來，它是從單個集群開始逐步分裂，直到無法分裂，即每個點都是一個簇。

所以無論是 10、100、1000 個數(shù)據(jù)點都不重要，這些點在開始的時候都屬于同一個簇：

現(xiàn)在，在每次迭代中拆分簇中相隔最遠(yuǎn)的兩點，并重復(fù)這個過程，直到每個簇只包含一個點：

上面的過程就是分裂層次聚類。

執(zhí)行層次聚類的步驟

上面已經(jīng)說了層次聚類的大概過程，那關(guān)鍵的來了，如何確定點和點的相似性呢？

這是聚類中最重要的問題之一了，一般計算相似度的方法是：計算這些簇的質(zhì)心之間的距離。距離最小的點稱為相似點，我們可以合并它們，也可以將其稱為基于距離的算法。

另外在層次聚類中，還有一個稱為鄰近矩陣的概念，它存儲了每個點之間的距離。下面我們通過一個例子來理解如何計算相似度、鄰近矩陣、以及層次聚類的具體步驟。

案例介紹

假設(shè)一位老師想要將學(xué)生分成不同的組?，F(xiàn)在有每個學(xué)生在作業(yè)中的分?jǐn)?shù)，想根據(jù)這些分?jǐn)?shù)將他們分成幾組。關(guān)于擁有多少組，這里沒有固定的目標(biāo)。由于老師不知道應(yīng)該將哪種類型的學(xué)生分配到哪個組，因此不能作為監(jiān)督學(xué)習(xí)問題來解決。下面，我們將嘗試應(yīng)用層次聚類將學(xué)生分成不同的組。

下面是個5名學(xué)生的成績：

創(chuàng)建鄰近矩陣

首先，我們要創(chuàng)建一個鄰近矩陣，它儲存了每個點兩兩之間的距離，因此可以得到一個形狀為 n X n 的方陣。

這個案例中，可以得到以下 5 x 5 的鄰近矩陣：

矩陣?yán)镉袃牲c需要注意下：

• 矩陣的對角元素始終為 0，因為點與其自身的距離始終為 0
• 使用歐幾里得距離公式來計算非對角元素的距離

比如，我們要計算點 1 和 2 之間的距離，計算公式為：

同理，按此計算方法完成后填充鄰近矩陣其余元素。

執(zhí)行層次聚類

這里使用凝聚層次聚類來實現(xiàn)。

步驟 1：首先，我們將所有點分配成單個簇：

這里不同的顏色代表不同的簇，我們數(shù)據(jù)中的 5 個點，即有 5 個不同的簇。

步驟2：接下來，我們需要查找鄰近矩陣中的最小距離并合并距離最小的點。然后我們更新鄰近矩陣：

最小距離是 3，因此我們將合并點 1 和 2：

讓我們看看更新的集群并相應(yīng)地更新鄰近矩陣：

更新之后，我們?nèi)×?、2 兩個點中值 (7, 10) 最大的來替換這個簇的值。當(dāng)然除了最大值之外，我們還可以取最小值或平均值。然后，我們將再次計算這些簇的鄰近矩陣：

第 3 步：重復(fù)第 2 步，直到只剩下一個簇。

重復(fù)所有的步驟后，我們將得到如下所示的合并的聚類：

這就是凝聚層次聚類的工作原理。但問題是我們?nèi)匀徊恢涝摲謳捉M？是2、3、還是4組呢？

下面開始介紹如何選擇聚類數(shù)。

如何選擇聚類數(shù)？

為了獲得層次聚類的簇數(shù)，我們使用了一個概念，叫作樹狀圖。

通過樹狀圖，我們可以更方便的選出聚類的簇數(shù)。

回到上面的例子。當(dāng)我們合并兩個簇時，樹狀圖會相應(yīng)地記錄這些簇之間的距離并以圖形形式表示。下面這個是樹狀圖的原始狀態(tài)，橫坐標(biāo)記錄了每個點的標(biāo)記，縱軸記錄了點和點之間的距離：

當(dāng)合并兩個簇時，將會在樹狀圖中連接起來，連接的高度就是點之間的距離。下面是我們剛剛層次聚類的過程。

然后開始對上面的過程進行樹狀圖的繪制。從合并樣本 1 和 2 開始，這兩個樣本之間的距離為 3。

可以看到已經(jīng)合并了 1 和 2。垂直線代表 1 和 2 的距離。同理，按照層次聚類過程繪制合并簇類的所有步驟，最后得到了這樣的樹狀圖：

通過樹狀圖，我們可以清楚地形象化層次聚類的步驟。樹狀圖中垂直線的距離越遠(yuǎn)代表簇之間的距離越大。

有了這個樹狀圖，我們決定簇類數(shù)就方便多了。

現(xiàn)在我們可以設(shè)置一個閾值距離，繪制一條水平線。比如我們將閾值設(shè)置為 12，并繪制一條水平線，如下：

從交點中可以看到，聚類的數(shù)量就是與閾值水平線與垂直線相交的數(shù)量（紅線與 2 條垂直線相交，我們將有 2 個簇）。與橫坐標(biāo)相對應(yīng)的，一個簇將有一個樣本集合為 (1,2,4)，另一個集群將有一個樣本集合 (3,5)。

這樣，我們就通過樹狀圖解決了分層聚類中要決定聚類的數(shù)量。

Python代碼實戰(zhàn)案例

上面是理論基礎(chǔ)，有點數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都能看懂。下面介紹下在如何用代碼Python來實現(xiàn)這一過程。這里拿一個客戶細(xì)分的數(shù)據(jù)來展示一下。

數(shù)據(jù)集和代碼在我的GitHub倉庫里：

??https://github.com/xiaoyusmd/PythonDataScience ??

如果覺得有幫助，還請給個star！

這個數(shù)據(jù)來源于UCI 機器學(xué)習(xí)庫。我們的目的是根據(jù)批發(fā)分銷商的客戶在不同產(chǎn)品類別（如牛奶、雜貨、地區(qū)等）上的年度支出，對他們進行細(xì)分。

首先對數(shù)據(jù)進行一個標(biāo)準(zhǔn)化，為了讓所有數(shù)據(jù)在同一個維度便于計算，然后應(yīng)用層次聚類來細(xì)分客戶。

from sklearn.preprocessing import normalize
data_scaled = normalize(data)
data_scaled = pd.DataFrame(data_scaled, columns=data.columns)
import scipy.cluster.hierarchy as shc
plt.figure(figsize=(10, 7))  
plt.title("Dendrograms")  
dend = shc.dendrogram(shc.linkage(data_scaled, method='ward'))

x 軸包含了所有樣本，y 軸代表這些樣本之間的距離。距離最大的垂直線是藍(lán)線，假如我們決定要以閾值 6 切割樹狀圖：

plt.figure(figsize=(10, 7))  
plt.title("Dendrograms")  
dend = shc.dendrogram(shc.linkage(data_scaled, method='ward'))
plt.axhline(y=6, color='r', linestyle='--')

現(xiàn)在我們有兩個簇了，我們要對這 2 個簇應(yīng)用層次聚類：

from sklearn.cluster import AgglomerativeClustering
cluster = AgglomerativeClustering(n_clusters=2, affinity='euclidean', linkage='ward')  
cluster.fit_predict(data_scaled)

由于我們定義了 2 個簇，因此我們可以在輸出中看到 0 和 1 的值。0 代表屬于第一個簇的點，1 代表屬于第二個簇的點。 

plt.figure(figsize=(10, 7))  
plt.scatter(data_scaled['Milk'], data_scaled['Grocery'], c=cluster.labels_)

到這里我們就成功的完成了聚類。