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3 月 12 號，是全國的重大節(jié)日：植樹節(jié)。記得小時候就跟隨老師一起植過樹?，F(xiàn)在參加工作了，雖然沒有植過樹，但是學(xué)到過很多樹的結(jié)構(gòu)，比如二叉樹、B+ 樹，紅黑樹。每次面試必問，恰逢植樹節(jié)，本來是想講解 B 樹，但發(fā)現(xiàn)必須要理解了二叉樹之后才能更好地講解 B 樹，所以先給大家講下二叉樹是什么，后面文章再更新 B 樹。

大白話講解二叉樹

比如現(xiàn)在有個數(shù)組，存放了很多用戶的名字，需要從這個數(shù)組中找到包含指定的用戶名，最快的方式是什么?

我們會想到二分查找，雖然這種方式很快，但要達(dá)到最快還需要有個條件：數(shù)組有序。

如果我們能把插入用戶名的時候直接給他排序，那最后的結(jié)構(gòu)就是有序結(jié)構(gòu)。

因此有人設(shè)計了一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：二叉查找樹，也叫做二叉樹。

如下圖所示：這是一種二叉樹結(jié)構(gòu)。

二叉樹

根據(jù)上文中的例子的，假定 Herry 在最上面，下面有 Alice，Mike，Ivy，Tom，從左到右，從上到下來看的話，最后的排序是：Alice->Herry->Ivy->Mike->Tom，確實是按照字母順序排的。

名字排序說明

其中有四個術(shù)語需要說明：節(jié)點、左節(jié)點、右節(jié)點、根節(jié)點。

其中每個紅色圓球都算一個節(jié)點，節(jié)點左下邊相連接的節(jié)點叫做左節(jié)點，而右邊相連的叫做右節(jié)點。比如 Alice 被稱作 Herry 節(jié)點的左節(jié)點，Mike 被稱作 Herry 的右節(jié)點。而根節(jié)點只會有一個，屬于最上面的節(jié)點，上圖中的 Herry 就是根節(jié)點。

對于其中每個節(jié)點，左子節(jié)點的值都比它小，而右子節(jié)點的值都比它大。比如 Alice < Herry < Mike。

假設(shè)現(xiàn)在我們想要查找 Ivy，首先檢查根節(jié)點，發(fā)現(xiàn)比 Herry 大，所以往下繼續(xù)找，找到了根節(jié)點的右節(jié)點 Mike，再繼續(xù)找，比 Mike 小，所以找 Mike 的左節(jié)點，正好找到 Ivy。

二叉查找樹中查找節(jié)點時，平均運行時間是 O(logn)，最糟糕的情況下所需時間為 O(n); 而在有序數(shù)組中查找時，及時最糟糕的情況，二分查找最多也是 O(logn)，所以你可能會覺得，二分查找比二叉查找要快很多。但是二叉查找樹的插入和刪除操作的速度是要快很多的。這里我們做一個對比：

二叉樹與二分查找算法對比

但是二叉樹也有缺點：

• 不能隨機訪問。比如想要查找第 10 個元素，是不能返回第十個元素的，但是數(shù)組就可以通過下標(biāo)索引找到。
• 二叉樹存在不平衡的情況，比如以根節(jié)點為中間的界限，發(fā)現(xiàn)右邊的節(jié)點數(shù)遠(yuǎn)超左邊的節(jié)點數(shù)，那么左右不平衡，查找的效率就很低了。如下圖所示：

右邊節(jié)點數(shù)遠(yuǎn)大于左邊節(jié)點數(shù)

那有沒有平衡的二叉樹呢?當(dāng)然有，那就是紅黑樹，限于篇幅和側(cè)重點，這個放到下篇再講吧

二叉樹中的含義

二叉樹定義

大白話說二叉樹就是每個節(jié)點只能有兩顆子樹，且有左右之分。

來看看專業(yè)定義：二叉樹是 n(n>=0 ) 個結(jié)點的有限集合，該集合或者為空集(稱為空二叉樹)，或者由一個根結(jié)點和兩棵互不相交的、分別稱為根結(jié)點的左子樹和右子樹組成。

二叉樹有 5 種形態(tài)

空二叉樹。

只有一個根節(jié)點的二叉樹。

只有左子樹

只有右子樹。

完全二叉樹。

節(jié)點的度

定義：節(jié)點擁有的子樹數(shù)目稱為節(jié)點的度。

我們來看下圖就一目了然了。

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比如節(jié)點 B 的度為 2，節(jié)點 E 的度 為 1.

而樹的度就是所有節(jié)點的度的最大值，也就是 2。

節(jié)點層次

如下圖所示：根節(jié)點為第一層，依次類推。

二叉樹的特點

每個節(jié)點最多有顆子樹，所以二叉樹中不存在度大于 2 的節(jié)點。

左右子樹是有順序的，次序不能任意顛倒。

即使某個節(jié)點只有一顆子樹，也是需要區(qū)分它是左子樹還是右子樹。

二叉樹的遍歷

二叉樹的遍歷：從二叉樹的根節(jié)點出發(fā)，按照某種次序依次訪問二叉樹中的所有節(jié)點，使得每個節(jié)點都能被訪問一次，且僅被訪問一次。

二叉樹的訪問次序可以分為四種：

• 前序遍歷。
• 中序遍歷。
• 后續(xù)遍歷。
• 層序遍歷。

前序遍歷：通俗的說就是從二叉樹的根結(jié)點出發(fā)，當(dāng)?shù)谝淮蔚竭_(dá)結(jié)點時就輸出結(jié)點數(shù)據(jù)，按照先向左再向右的方向訪問。

中序遍歷：就是從二叉樹的根結(jié)點出發(fā)，當(dāng)?shù)诙蔚竭_(dá)結(jié)點時就輸出結(jié)點數(shù)據(jù)，按照先向左再向右的方向訪問。

后序遍歷：就是從二叉樹的根結(jié)點出發(fā)，當(dāng)?shù)谌蔚竭_(dá)結(jié)點時就輸出結(jié)點數(shù)據(jù)，按照先向左再向右的方向訪問。

層次遍歷：就是按照樹的層次自上而下的遍歷二叉樹。

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按照前序遍歷的結(jié)果就是 BADCE。

按照中序遍歷的結(jié)果就是 ABCDE。

按照后續(xù)遍歷的結(jié)果就是 ACEDB。

按照層次遍歷的結(jié)果就是 BADCE。

巨人的肩膀：

《算法圖解》

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