在本文中，我將介紹兩個能夠?qū)r間序列進行建模的模型：隨機游走和移動平均過程。

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隨機游走模型

隨機游走模型由以下公式表示：

換句話說，當(dāng)前時刻t的位置是前一時刻(t-1)的位置與噪聲(用z表示)之和。這里我們假設(shè)噪聲是正態(tài)分布的(均值為0，方差為1)。

我們從0開始隨機游走，也就是說，任何時間點都是該時間之前所有噪聲的和。數(shù)學(xué)上表示為：

讓我們在Python中模擬隨機游走。

首先，我們導(dǎo)入所需的Python庫：

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf 
from statsmodels.tsa.arima_process import ArmaProcess 
from statsmodels.tsa.stattools import acf 
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
 
%matplotlib inline 

然后，我們生成一個包含1000個數(shù)據(jù)點的數(shù)據(jù)集。起點是0，我們將隨機噪聲添加到上一個點以生成下一個點：

steps = np.random.standard_normal(1000) 
steps[0]=0 
random_walk = np.cumsum(steps) 

繪制數(shù)據(jù)集的Python代碼如下：

plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure 
plt.plot(random_walk) 
plt.title("Simulated Random Walk") 
plt.show() 

模擬隨機游走

你的隨機行走可能與上面的圖不同，因為噪聲是隨機的。

現(xiàn)在，讓我們看看我們的隨機游走的自相關(guān)圖(或相關(guān)圖)：

random_walk_acf_coef = acf(random_walk) 
plot_acf(random_walk, lags=20); 

隨機游走的相關(guān)圖

不管你的隨機游走看起來像什么，你都應(yīng)該得到一個非常相似的相關(guān)圖。

現(xiàn)在，一切都指向數(shù)據(jù)集中的趨勢。我們可以改變這種趨勢嗎?答案是肯定的。

讓我們在Python中進行驗證。

random_walk_diff = np.diff(random_walk, n=1) 

然后我們繪制結(jié)果：

plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure 
plt.plot(random_walk_diff) 
plt.title('Noise') 
plt.show() 

如您所見，上面的圖沒有趨勢，也沒有季節(jié)性，是一個完全隨機的過程。

查看相關(guān)圖的python代碼如下：

plot_acf（random_walk_diff，lags = 20）; 

我們看到這是一個純隨機過程的相關(guān)圖，其中自相關(guān)系數(shù)在滯后1處下降。

移動平均過程

我們先來直觀了解一下什么是移動平均過程。

假設(shè)你把一塊石頭扔進一個池塘里，你要追蹤水面上一滴水的位置。當(dāng)石頭撞擊水面時，會形成波紋，所以我們要跟蹤的水滴會上下移動。讓我們假設(shè)波紋只持續(xù)兩秒鐘，在這兩秒鐘之后，水面就會完全變平。

我們的水滴位置可以表示為：

上面的方程表示，X在t時刻的位置取決于t時刻的噪聲，加上t-1時刻的噪聲(有一定的權(quán)重THETA)，加上t-2時刻的噪聲(有一定的權(quán)值)。

這被稱為二階移動平均過程，可以表示為MA(2)。

通用表示法是MA(q)。在上面的示例中，q = 2。

讓我們在Python中模擬此過程。具體來說，我們將模擬以下過程：

這是一個二階移動平均過程，我們指定了權(quán)重。您可以隨意更改權(quán)重，并對參數(shù)進行試驗。

我們從指定滯后開始，我們用的是2。

ar2 = np.array（[2]） 

然后，我們指定權(quán)重，權(quán)重為[1、0.9、0.3]。

ma2 = np.array([1, 0.9, 0.3]) 

最后，我們模擬該過程并生成1000個數(shù)據(jù)點：

MA2_process = ArmaProcess(ar2, ma2).generate_sample(nsample=1000) 

現(xiàn)在，讓我們可視化該過程及其相關(guān)圖：

plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure 
plt.plot(MA2_process) 
plt.title('Moving Average Process of Order 2') 
plt.show() 
 
plot_acf(MA2_process, lags=20); 

由于噪聲是隨機產(chǎn)生的，因此您的圖形可能與我的不同。但相關(guān)圖應(yīng)與下圖類似：

正如您所注意到的，相關(guān)性在滯后2之前是顯著的。這很有意義，因為我們指定了滯后為2。

這意味著您可以使用相關(guān)圖來推斷時間序列的滯后。如果您看到滯后q之后相關(guān)性并不顯著，那么您可以將時間序列建模為MA(q)過程。

最后

通過本文，您了解了隨機游走是什么以及如何對其進行模擬。此外，您還學(xué)習(xí)了移動平均過程，并了解了如何對其建模。