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前言

每當我們執(zhí)行某個 SQL 發(fā)現(xiàn)很慢時，都會下意識地反應是否加了索引，那么大家是否有想過加了索引為啥會使數(shù)據(jù)查找更快呢，索引的底層一般又是用什么結構存儲的呢，相信大家看了標題已經有答案了，沒錯!B+樹!那么它相對于一般的鏈表，哈希等有何不同，為何多數(shù)存儲引擎都選擇使用它呢，今天我就來揭開 B+ 樹的面紗，相信看了此文，B+ 樹不再神秘，對你理解以下高頻面試題會大有幫助!

• 為啥索引常用 B+ 樹作為底層的數(shù)據(jù)結構
• 除了 B+ 樹索引，你還知道什么索引
• 為啥推薦自增 id 作為主鍵，自建主鍵不行嗎
• 什么是頁分裂，頁合并
• 怎么根據(jù)索引查找行記錄

本文將會從以下幾個方面來講解 B+ 樹

• 定義問題
• 幾種常見的數(shù)據(jù)結構對比
• 頁分裂與頁合并

定義問題

要知道索引底層為啥使用 B+ 樹，得看它解決了什么問題，我們可以想想，日常我們用到的比較多的 SQL 有哪些呢。

假設我們有一張以下的用戶表：

CREATE  TABLE  `user` ( 
  `id` int(11) unsigned  NOT  NULL AUTO_INCREMENT, 
  `name` varchar(20) DEFAULT  NULL COMMENT '姓名', 
  `idcard` varchar(20) DEFAULT  NULL COMMENT '身份證號碼', 
  `age` tinyint(10) DEFAULT  NULL  COMMENT '年齡', 
  PRIMARY KEY (`id`) 
) ENGINE=InnoDB  DEFAULT  CHARSET=utf8 COMMENT='用戶信息'; 

一般我們會有如下需求：

1、根據(jù)用戶 id 查用戶信息

select * from  user  where  id = 123; 

2、根據(jù)區(qū)間值來查找用戶信息

select * from  user  where  id > 123  and  id < 234; 

3、按 id 逆序排列，分頁取出用戶信息

select * from  user  where  id <  1234  order  by  id  desc  limit  10; 

從以上的幾個常用 SQL 我們可以看到索引所用的數(shù)據(jù)結構必須滿足以下三個條件

1. 根據(jù)某個值精確快速查找
2. 根據(jù)區(qū)間值的上下限來快速查找此區(qū)間的數(shù)據(jù)
3. 索引值需要排好序，并支持快速順序查找和逆序查找

接下來我們以主鍵索引(id 索引)為例來看看如何用相應的數(shù)據(jù)結構來構造它

幾種常見的數(shù)據(jù)結構對比

接下來我們想想有哪些數(shù)據(jù)結構滿足以上的條件

1、散列表

散列表(也稱哈希表)是根據(jù)關鍵碼值(Key value)而直接進行訪問的數(shù)據(jù)結構，它讓碼值經過哈希函數(shù)的轉換映射到散列表對應的位置上，查找效率非常高。哈希索引就是基于散列表實現(xiàn)的，假設我們對名字建立了哈希索引，則查找過程如下圖所示：

對于每一行數(shù)據(jù)，存儲引擎都會對所有的索引列(上圖中的 name 列)計算一個哈希碼(上圖散列表的位置)，散列表里的每個元素指向數(shù)據(jù)行的指針，由于索引自身只存儲對應的哈希值，所以索引的結構十分緊湊，這讓哈希索引查找速度非?？?但是哈希索引也有它的劣勢，如下：

1. 針對哈希索引，只有精確匹配索引所有列的查詢才有效，比如我在列(A,B)上建立了哈希索引，如果只查詢數(shù)據(jù)列 A，則無法使用該索引。
2. 哈希索引并不是按照索引值順序存存儲的，所以也就無法用于排序，也就是說無法根據(jù)區(qū)間快速查找
3. 哈希索引只包含哈希值和行指針，不存儲字段值，所以不能使用索引中的值來避免讀取行，不過，由于哈希索引多數(shù)是在內存中完成的，大部分情況下這一點不是問題
4. 哈希索引只支持等值比較查詢，包括 =,IN()，不支持任何范圍的查找，如 age > 17

綜上所述，哈希索引只適用于特定場合， 如果用得對，確實能再帶來很大的性能提升，如在 InnoDB 引擎中，有一種特殊的功能叫「自適應哈希索引」，如果 InnoDB 注意到某些索引列值被頻繁使用時，它會在內存基于 B+ 樹索引之上再創(chuàng)建一個哈希索引，這樣就能讓 B+樹也具有哈希索引的優(yōu)點，比如快速的哈希查找。

2、鏈表

雙向鏈表支持順序查找和逆序查找，如圖下

但顯然不支持我們說的按某個值或區(qū)間的快速查找，另外我們知道表中的數(shù)據(jù)是要不斷增加的，索引也是要及時插入更新的，鏈表顯然也不支持數(shù)據(jù)的快速插入，所以能否在鏈表的基礎上改造一下，讓它支持快速查找，更新，刪除。有一種結構剛好能滿足我們的需求，這里引入跳表的概念。

什么是跳表?簡單地說，跳表是在鏈表之上加上多層索引構成的。如下圖所示

假設我們現(xiàn)在要查找區(qū)間 7- 13 的記錄，再也不用從頭開始查找了，只要在上圖中的二級索引開始找即可，遍歷三次即可找到鏈表的區(qū)間位置，時間復雜度是 O(logn)，非?？欤@樣看來，跳表是能滿足我們的需求的，實際上它的結構已經和 B+ 樹非常接近了，只不過 B+ 樹是從平衡二叉查找樹演化而來的而已，接下來我們一步步來看下如何將平衡二叉查找樹改造成 B+ 樹。

先來看看什么是平衡二叉查找樹，平衡二叉查找樹具有如下性質：

1. 若左子樹不空，則左子樹上所有節(jié)點的值均小于它的根節(jié)點的值;
2. 若右子樹不空，則右子樹上所有節(jié)點的值均大于或等于它的根節(jié)點的值;
3. 每個非葉子節(jié)點的左右子樹的高度之差的絕對值(平衡因子)最多為1。

下圖就是一顆平衡二叉查找樹

從其特性就可以看到平衡二叉查找樹查找節(jié)點的時間復雜度是 O(log2n)

現(xiàn)在我們將其改造成 B+ 樹

可以看到主要區(qū)別就是所有的節(jié)點值都在最后葉節(jié)點上用雙向鏈表連接在了一起，仔細和跳表對比一下 ，是不是很像，現(xiàn)在如果我們要找15 ~ 27 這個區(qū)間的數(shù)只要先找到 15 這個節(jié)點(時間復雜度 logn = 3 次)再從前往后遍歷直到 27 這個節(jié)點即可，即可找到這區(qū)間的節(jié)點，這樣它完美地支持了我們提的三個需求：快速查找值，區(qū)間，順序逆序查找。

假設有 1 億個節(jié)點，每個節(jié)點要查詢多少次呢，顯然最多為 log21億 = 27 次，如果這 1 億個節(jié)點都在內存里，那 27 次顯然不是問題，可以說是非?？炝?，但一個新的問題出現(xiàn)了，這 1 億個節(jié)點在內存大小是多少呢，我們簡單算一下，假設每個節(jié)點 16 byte，則 1 億個節(jié)點大概要占用 1.5G 內存!對于內存這么寶貴的資源來說是非常可怕的空間消耗，這還只是一個索引，一般我們都會在表中定義多個索引，或者庫中定義多張表，這樣的話內存很快就爆滿了!所以在內存中完全裝載一個 B+ 樹索引顯然是有問題的，如何解決呢。

內存放不下， 我們可以把它放到磁盤嘛，磁盤空間比內存大多了，但新的問題又來了，我們知道內存與磁盤的讀取速度相差太大了，通常內存是納秒級的，而磁盤是毫秒級的，讀取同樣大小的數(shù)據(jù)，兩者可能相差上萬倍，于是上一步我們計算的 27 次查詢如果放在磁盤中來看就非常要命了(查找一個節(jié)點可以認為是一次磁盤 IO，也就是說有 27 次磁盤 IO!)，27 次查詢是否可以優(yōu)化?

可以很明顯地觀察到查詢次數(shù)和樹高有關，那樹高和什么有關，很明顯和每個節(jié)點的子節(jié)點個數(shù)有關，即 N 叉樹中的 N，假設現(xiàn)在有 16 個數(shù)，我們分別用二叉樹和五叉樹來構建，看下樹高分別是多少

可以看到如果用二叉樹 ，要遍歷 5 個節(jié)點，如果用五叉樹 ，只要遍歷 3 次，一下少了兩次磁盤 IO，回過頭來看 上文的一億個節(jié)點，如果我們用 100 叉樹來構建，需要幾次 IO 呢

可以看到，最多遍歷五次(實際上根節(jié)點一般存在內存里的，所以可以認為是 4 次)!磁盤 IO 一下從 27 減少到了 5!性能可以說是大大提升了,有人說 5 次還是太多，是不是可以把 100 叉樹改成 1000 或 10000 叉樹呢，這樣 IO 次數(shù)不就就能進一步減少了。

這里我們就需要了解頁(page)的概念，在計算機里，無論是內存還是磁盤，操作系統(tǒng)都是按頁的大小進行讀取的(頁大小通常為 4 kb)，磁盤每次讀取都會預讀，會提前將連續(xù)的數(shù)據(jù)讀入內存中，這樣就避免了多次 IO，這就是計算機中有名的局部性原理，即我用到一塊數(shù)據(jù)，很大可能這塊數(shù)據(jù)附近的數(shù)據(jù)也會被用到，干脆一起加載，省得多次 IO 拖慢速度， 這個連續(xù)數(shù)據(jù)有多大呢，必須是操作系統(tǒng)頁大小的整數(shù)倍，這個連續(xù)數(shù)據(jù)就是 MySQL 的頁，默認值為 16 KB，也就是說對于 B+ 樹的節(jié)點，最好設置成頁的大小(16 KB)，這樣一個 B+ 樹上的節(jié)點就只會有一次 IO 讀。

那有人就會問了，這個頁大小是不是越大越好呢，設置大一點，節(jié)點可容納的數(shù)據(jù)就越多，樹高越小，IO 不就越小了嗎，這里要注意，頁大小并不是越大越好，InnoDB 是通過內存中的緩存池(pool buffer)來管理從磁盤中讀取的頁數(shù)據(jù)的。頁太大的話，很快就把這個緩存池撐滿了，可能會造成頁在內存與磁盤間頻繁換入換出，影響性能。

通過以上分析，相信我們不難猜測出 N 叉樹中的 N 該怎么設置了，只要選的時候盡量保證每個節(jié)點的大小等于一個頁(16kb)的大小即可。

頁分裂與頁合并

現(xiàn)在我們來看看開頭的問題， 為啥推薦自增 id 作為主鍵，自建主鍵不行嗎，有人可能會說用戶的身份證是唯一的，可以用它來做主鍵，假設以身份證作主鍵，會有什么問題呢。

B+ 樹為了維護索引的有序性，每插入或更新一條記錄的時候，會對索引進行更新。假設原來基于身份證作索引的 B+ 樹如下(假設為二叉樹 ，圖中只列出了身份證的前四位)

現(xiàn)在有一個開頭是 3604 的身份證對應的記錄插入 db ，此時要更新索引，按排序來更新的話，顯然這個 3604 的身份證號應該插到左邊節(jié)點 3504 后面(如下圖示，假設為二叉樹)

如果把 3604 這個身份證號插入到 3504 后面的話，這個節(jié)點的元素個數(shù)就有 3 個了，顯然不符合二叉樹的條件，此時就會造成頁分裂，就需要調整這個節(jié)點以讓它符合二叉樹的條件

如圖示：調整過后符合二叉樹條件

這種由于頁分裂造成的調整必然導致性能的下降，尤其是以身份證作為主鍵的話，由于身份證的隨機性，必然造成大量的隨機結點中的插入，進而造成大量的頁分裂，進而造成性能的急劇下降，那如果是以自增 id 作為主鍵呢，由于新插入的表中生成的 id 比索引中所有的值都大，所以它要么合到已存在的節(jié)點(元素個數(shù)未滿)中，要么放入新建的節(jié)點中(如下圖示)所以如果是以自增 id 作為主鍵，就不存在頁分裂的問題了，推薦!

有頁分裂就必然有頁合并，什么時候會發(fā)生頁合并呢，當刪除表記錄的時候，索引也要刪除，此時就有可能發(fā)生頁合并，如圖示

當我們刪除 id 為 7，9 對應行的時候，上圖中的索引就要更新，把 7，9 刪掉，此時 8，10 就應該合到一個節(jié)點，不然 8，10 分散在兩個節(jié)點上，可能造成兩次 IO 讀，勢必會影響查找效率! 那什么時候會發(fā)生頁合并呢，我們可以定個閾值，比如對于 N 叉樹來說，當節(jié)點的個數(shù)小于 N/2 的時候就應該和附近的節(jié)點合并，不過需要注意的是合并后節(jié)點里的元素大小可能會超過 N，造成頁分裂，需要再對父節(jié)點等進行調整以讓它滿足 N 叉樹的條件。

怎么根據(jù)索引查找行記錄

相信大家看完以上的 B+ 樹索引的介紹應該還有個疑惑，怎么根據(jù)對應的索引值查找行記錄呢，其實相應的行記錄就放在最后的葉子節(jié)點中，找到了索引值，也就找到了行記錄。如圖示

可以看到，非葉子節(jié)點只存了索引值，只在最后一行才存放了行記錄，這樣極大地減小了索引了大小，而且只要找到索引值就找到了行記錄，也提升了效率，

這種在葉節(jié)點存放一整行記錄的索引被稱為聚簇索引，其他的就稱為非聚簇索引。

關于 B+ 樹的總結

綜上所述，B+樹有以下特點：

• 每個節(jié)點中子節(jié)點的個數(shù)不能超過 N，也不能小于 N/2(不然會造成頁分裂或頁合并)
• 根節(jié)點的子節(jié)點個數(shù)可以不超過 m/2，這是一個例外
• m 叉樹只存儲索引，并不真正存儲數(shù)據(jù)，只有最后一行的葉子節(jié)點存儲行數(shù)據(jù)。
• 通過鏈表將葉子節(jié)點串聯(lián)在一起，這樣可以方便按區(qū)間查找

總結

本文由日常中常用的 SQL 由淺入深地總結了 B+ 樹的特點，相信大家應該對 B+ 樹索引有了比較清晰地認識，所以說為啥我們要掌握底層原來，學完了 B+ 樹，再看開頭提的幾個問題，其實也不過如此，深挖底層，有時候確實能讓你以不變應萬變。