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我第一次聽說 Shapley 值是在學習模型可解釋性的時候。我知道了 SHAP，它是一個框架，可以更好地理解為什么機器學習模型會那樣運行。事實證明，Shapley 值已經(jīng)存在了一段時間，它們最早起源于 1953 年的博弈論領域，目的是解決以下情況：

• 一群擁有不同技能的參與者為了集體獎勵而相互合作。那么，如何在小組中公平分配獎勵?

當一個「舊」概念被應用到另一個領域，如機器學習，關于它是如何獲得新的應用是非常有趣的。在機器學習中，參與者是你輸入的特征，而集體支出是模型預測。在這種情況中，Shapley 值用于計算每個單獨的特征對模型輸出的貢獻。

如何計算 Shapley 值?大多數(shù)時候，你傾向于在文獻中看到這個等式：

讓我們把它分解一下。在一個聯(lián)盟游戲(前面描述的場景)中，我們有一組 N 個玩家。我們還有一個函數(shù) v，它給出了這些參與者的任何子集的值，也就是說，S 是 N 的子集，然后 v(S)給出了該子集的值。因此，對于一個聯(lián)合博弈(N，v)，我們可以使用這個方程來計算玩家 i 的貢獻，即 Shapley 值。

現(xiàn)在我不知道你會怎么想，但當我第一次遇到這個等式時，我的第一反應如下圖：

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我很難理解為什么它看起來是這樣的。我花了一些時間研究之后，終于開始有了一些理解。所以，我們開始吧!

好吧，我們要做的第一件事是重寫初始方程：

乍一看，這個公式似乎并沒有變容易，但請不要著急。很快，我將分解方程的不同部分，以便理解它們，但我們也可以定義一個具體的場景，我們可以使用它來讓所有部分都不那么抽象。

假設我們經(jīng)營一家生產(chǎn)磚塊的工廠。我們的一個生產(chǎn)團隊由四個人組成：Amanda、Ben、Claire 和 Don(從現(xiàn)在起，我將以他們名字中的第一個字母來稱呼他們)。每周他們一起設法生產(chǎn)出 X 塊磚。由于我們工廠運轉良好，我們有一筆獎金要發(fā)給隊員們。但是，為了讓我們以公平的方式做到這一點，我們需要弄清楚每個人對每周生產(chǎn) X 數(shù)量的磚塊貢獻了多少。

最困難的是，我們有好幾個因素都會影響團隊可以生產(chǎn)的磚塊數(shù)量。其中之一是團隊規(guī)模，因為團隊規(guī)模越大，生產(chǎn)的磚塊就越多。另一個可能是團隊成員之間的合作程度。問題是，我們無法以有意義的方式量化這些影響，但幸運的是，我們可以使用 Shapley 值來回避這個問題。

我們現(xiàn)在已經(jīng)定義了我們的玩家(A、B、C 和 D)以及他們參與的游戲(生產(chǎn)磚塊)。讓我們從計算生產(chǎn)的 X 磚中有多少可以歸于 Don 開始，即計算 D 的 Shapley 值。如果我們把它與 Shapley 值公式的參數(shù)聯(lián)系起來，我們就得到：

所以 D 是我們的球員 i，整個 N 組由所有四個隊員 A，B，C 和 D 組成，我們先看一下 Shapley 值公式的這一部分：

也就是說，我們需要把我們的團隊成員排除在我們現(xiàn)在關注的人之外。然后，我們需要考慮所有可能形成的子集。所以如果我們從組中排除 D，我們就只剩下 {A，B，C}。從這個剩余的組中，我們可以形成以下子集：

我們總共可以構造出其余團隊成員的 8 個不同子集。其中一個子集是空集，即它沒有任何成員。現(xiàn)在讓我們把注意力轉移到這個部分：

這是我們 Shapley 值的一個基本概念的應用：在游戲中增加玩家 i 的邊際價值。所以對于任何給定的子集，我們要比較它的值和當包括玩家 i 的時候它的值。通過這樣做，我們得到了將玩家 i 添加到該子集的邊際值。

我們把它和我們的例子聯(lián)系起來，想看看如果我們把 D 加到 8 個子集中的每一個子集上，每周生產(chǎn)的磚塊數(shù)量有什么不同。我們可以將這 8 個邊緣值直觀地表示為：

你可以將每種情況都視為我們需要觀察的不同場景，以便公平地評估 D 對整個生產(chǎn)的貢獻程度。這意味著，我們需要觀察如果沒有人工作(即空集合)會產(chǎn)生多少磚塊，并將其與只有 D 工作時的情況進行比較。我們還需要觀察 AB 產(chǎn)生的磚塊數(shù)量，并將其與 AB 產(chǎn)生的磚塊數(shù)量以及所有 8 個集合中 D 可以產(chǎn)生的磚塊數(shù)量進行比較。

好吧，我們現(xiàn)在已經(jīng)知道我們需要計算 8 個不同的邊緣值。Shapley 值方程告訴我們，我們需要把它們加在一起。然而，在我們做這些之前，我們還需要調整每一個邊際值，從等式的這一部分可以看出：

它計算出除玩家 i 以外的所有剩余團隊成員的子集的排列可以有多少個。或者換句話說：如果你有| N |-1 個玩家，你能用它們組成多少個| S |大小的組?然后我們用這個數(shù)字除以玩家 i 對所有大小為| S |的群體的邊際貢獻。

在我們的場景中，| N |-1=3，也就是說，當我們計算 D 的 Shapley 值時，這些是剩下的團隊成員數(shù)量。在我們的例子中，我們將使用等式的那一部分來計算我們可以形成多少個 0、1、2 和 3 大小的組，因為這些只是我們可以用剩下的成員構造的組大小。因此，例如，如果有| S |=2，那么我們可以構造 3 個不同的大小為 2 的組：AB、BC 和 CA。這意味著我們應該對 8 個邊緣值中的每一個應用以下比例因子：

讓我們思考一下為什么要這樣做。我們想知道 D 對團隊總產(chǎn)出的貢獻有多大。為了做到這一點，我們計算了他對我們所能形成的團隊中每個集合的貢獻。通過添加這個比例因子，我們平均了其他團隊成員對每個子集大小的影響。這意味著，當我們將 D 加入到一個 0，1，2 和 3 大小的團隊中時，我們能夠捕獲這些團隊的平均邊際貢獻。

好了，我們差不多結束了，我們只有 Shapley 值方程的最后一部分要分解，這一點也應該很容易理解。

我們需要應用到所有的邊際值，然后才能求和。我們必須把它們和總隊員數(shù)分開。

我們?yōu)槭裁匆@么做?好吧，如果我們看看磚廠的例子，我們已經(jīng)平均出了其他團隊成員對每個子集大小的影響，這樣我們就可以算出 D 對 0、1、2 和 3 大小的組的貢獻。最后一塊拼圖是平均小組規(guī)模的影響，也就是說，D 貢獻了多少與小組規(guī)模無關。

我們現(xiàn)在終于可以計算出 D 的 Shapley 值了，我們觀察到他對團隊中所有不同的子集的貢獻是多少。我們還對團隊成員組成和團隊規(guī)模的影響進行了平均，這最終允許我們計算：

數(shù)學符號更多的是一個圖形化的說明，而不是一個數(shù)學的說明(這是我在腦海中想象它的方式)

在這里，我們得到了 D 的 Shapley 值。在我們?yōu)閳F隊的其他成員完成這項工作之后，我們將知道每個人對每周生產(chǎn)的 X 塊磚的貢獻，這樣我們就可以在所有團隊成員中公平地分配獎金。

在這一點上，我希望你對 Shapley 的價值觀有了更好的理解。很酷的是，我們不需要知道任何關于值函數(shù) v 內部工作原理，只需要觀察它為不同子集提供的值，我們可以從參與游戲的玩家中得到這些值。

這才是 Shapley 值背后真正的力量和吸引力。然而，這是有代價的。對于一組參與游戲的 n 個玩家，你將需要分析 2^n 個子集才能計算 Shapley 值。

有一些方法可以使計算更加實際可行，在引言中我提到了 SHAP 框架，它的主要優(yōu)點是，當將 Shapley 值應用于機器學習時，它能夠更有效地計算 Shapley 值。

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