線性回歸定義：

    在上一個(gè)主題中，也是一個(gè)與回歸相關(guān)的，不過上一節(jié)更側(cè)重于梯度這個(gè)概念，這一節(jié)更側(cè)重于回歸本身與偏差和方差的概念。

    回歸最簡(jiǎn)單的定義是，給出一個(gè)點(diǎn)集D，用一個(gè)函數(shù)去擬合這個(gè)點(diǎn)集，并且使得點(diǎn)集與擬合函數(shù)間的誤差最小。

       上圖所示，給出一個(gè)點(diǎn)集(x,y), 需要用一個(gè)函數(shù)去擬合這個(gè)點(diǎn)集，藍(lán)色的點(diǎn)是點(diǎn)集中的點(diǎn)，而紅色的曲線是函數(shù)的曲線，***張圖是一個(gè)最簡(jiǎn)單的模型，對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y = f(x) = ax + b，這個(gè)就是一個(gè)線性函數(shù)，

    第二張圖是二次曲線，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y = f(x) = ax^2 + b。

    第三張圖我也不知道是什么函數(shù)，瞎畫的。

    第四張圖可以認(rèn)為是一個(gè)N次曲線，N = M - 1，M是點(diǎn)集中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，有一個(gè)定理是，對(duì)于給定的M個(gè)點(diǎn)，我們可以用一個(gè)M - 1次的函數(shù)去***的經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)集。

    真正的線性回歸，不僅會(huì)考慮使得曲線與給定點(diǎn)集的擬合程度***，還會(huì)考慮模型最簡(jiǎn)單，這個(gè)話題我們將在本章后面的偏差、方差的權(quán)衡中深入的說，另外這個(gè)話題還可以參考我之前的一篇文章：貝葉斯、概率分布與機(jī)器學(xué)習(xí)，里面對(duì)模型復(fù)雜度的問題也進(jìn)行了一些討論。

    線性回歸(linear regression)，并非是指的線性函數(shù)，也就是

 （為了方便起見，以后向量我就不在上面加箭頭了）

    x0,x1…表示一個(gè)點(diǎn)不同的維度，比如說上一節(jié)中提到的，房子的價(jià)錢是由包括面積、房間的個(gè)數(shù)、房屋的朝向等等因素去決定的。而是用廣義的線性函數(shù)：

     wj是系數(shù)，w就是這個(gè)系數(shù)組成的向量，它影響著不同維度的Φj(x)在回歸函數(shù)中的影響度，比如說對(duì)于房屋的售價(jià)來說，房間朝向的w一定比房間面積的w更小。Φ(x)是可以換成不同的函數(shù)，不一定要求Φ(x)=x，這樣的模型我們認(rèn)為是廣義線性模型。

最小二乘法與***似然：

    這個(gè)話題在此處有一個(gè)很詳細(xì)的討論，我這里主要談?wù)勥@個(gè)問題的理解。最小二乘法是線性回歸中一個(gè)最簡(jiǎn)單的方法，它的推導(dǎo)有一個(gè)假設(shè)，就是回歸函數(shù)的估計(jì)值與真實(shí)值間的誤差假設(shè)是一個(gè)高斯分布。這個(gè)用公式來表示是下面的樣子： ，y(x,w)就是給定了w系數(shù)向量下的回歸函數(shù)的估計(jì)值，而t就是真實(shí)值了，ε表示誤差。我們可以接下來推出下面的式子：

     這是一個(gè)簡(jiǎn)單的條件概率表達(dá)式，表示在給定了x，w，β的情況下，得到真實(shí)值t的概率，由于ε服從高斯分布，則從估計(jì)值到真實(shí)值間的概率也是高斯分布的，看起來像下面的樣子：

         貝葉斯、概率分布與機(jī)器學(xué)習(xí)這篇文章中對(duì)分布影響結(jié)果這個(gè)話題討論比較多，可以回過頭去看看，由于最小二乘法有這樣一個(gè)假設(shè)，則會(huì)導(dǎo)致，如果我們給出的估計(jì)函數(shù)y(x,w)與真實(shí)值t不是高斯分布的，甚至是一個(gè)差距很大的分布，那么算出來的模型一定是不正確的，當(dāng)給定一個(gè)新的點(diǎn)x’想要求出一個(gè)估計(jì)值y’，與真實(shí)值t’可能就非常的遠(yuǎn)了。

     概率分布是一個(gè)可愛又可恨的東西，當(dāng)我們能夠準(zhǔn)確的預(yù)知某些數(shù)據(jù)的分布時(shí)，那我們可以做出一個(gè)非常精確的模型去預(yù)測(cè)它，但是在大多數(shù)真實(shí)的應(yīng)用場(chǎng)景中，數(shù)據(jù)的分布是不可知的，我們也很難去用一個(gè)分布、甚至多個(gè)分布的混合去表示數(shù)據(jù)的真實(shí)分布，比如說給定了1億篇網(wǎng)頁，希望用一個(gè)現(xiàn)有的分布（比如說混合高斯分布）去匹配里面詞頻的分布，是不可能的。在這種情況下，我們只能得到詞的出現(xiàn)概率，比如p(的)的概率是0.5，也就是一個(gè)網(wǎng)頁有1/2的概率出現(xiàn)“的”。如果一個(gè)算法，是對(duì)里面的分布進(jìn)行了某些假設(shè)，那么可能這個(gè)算法在真實(shí)的應(yīng)用中就會(huì)表現(xiàn)欠佳。最小二乘法對(duì)于類似的一個(gè)復(fù)雜問題，就很無力了

偏差、方差的權(quán)衡(trade-off)：

    偏差(bias)和方差(variance)是統(tǒng)計(jì)學(xué)的概念，剛進(jìn)公司的時(shí)候，看到每個(gè)人的嘴里隨時(shí)蹦出這兩個(gè)詞，覺得很可怕。首先得明確的，方差是多個(gè)模型間的比較，而非對(duì)一個(gè)模型而言的，對(duì)于單獨(dú)的一個(gè)模型，比如說:

    這樣的一個(gè)給定了具體系數(shù)的估計(jì)函數(shù)，是不能說f(x)的方差是多少。而偏差可以是單個(gè)數(shù)據(jù)集中的，也可以是多個(gè)數(shù)據(jù)集中的，這個(gè)得看具體的定義。

    方差和偏差一般來說，是從同一個(gè)數(shù)據(jù)集中，用科學(xué)的采樣方法得到幾個(gè)不同的子數(shù)據(jù)集，用這些子數(shù)據(jù)集得到的模型，就可以談他們的方差和偏差的情況了。方差和偏差的變化一般是和模型的復(fù)雜程度成正比的，就像本文一開始那四張小圖片一樣，當(dāng)我們一味的追求模型精確匹配，則可能會(huì)導(dǎo)致同一組數(shù)據(jù)訓(xùn)練出不同的模型，它們之間的差異非常大。這就叫做方差，不過他們的偏差就很小了，如下圖所示：

     上圖的藍(lán)色和綠色的點(diǎn)是表示一個(gè)數(shù)據(jù)集中采樣得到的不同的子數(shù)據(jù)集，我們有兩個(gè)N次的曲線去擬合這些點(diǎn)集，則可以得到兩條曲線（藍(lán)色和深綠色），它們的差異就很大，但是他們本是由同一個(gè)數(shù)據(jù)集生成的，這個(gè)就是模型復(fù)雜造成的方差大。模型越復(fù)雜，偏差就越小，而模型越簡(jiǎn)單，偏差就越大，方差和偏差是按下面的方式進(jìn)行變化的:

     當(dāng)方差和偏差加起來***的點(diǎn)，就是我們***的模型復(fù)雜度。

     用一個(gè)很通俗的例子來說，現(xiàn)在咱們國(guó)家一味的追求GDP，GDP就像是模型的偏差，國(guó)家希望現(xiàn)有的GDP和目標(biāo)的GDP差異盡量的小，但是其中使用了很多復(fù)雜的手段，比如說倒賣土地、強(qiáng)拆等等，這個(gè)增加了模型的復(fù)雜度，也會(huì)使得偏差（居民的收入分配）變大，窮的人越窮(被趕出城市的人與進(jìn)入城市買不起房的人），富的人越富（倒賣土地的人與賣房子的人）。其實(shí)本來模型不需要這么復(fù)雜，能夠讓居民的收入分配與國(guó)家的發(fā)展取得一個(gè)平衡的模型是***的模型。

    ***還是用數(shù)學(xué)的語言來描述一下偏差和方差：

    E(L)是損失函數(shù)，h(x)表示真實(shí)值的平均，***部分是與y（模型的估計(jì)函數(shù)）有關(guān)的，這個(gè)部分是由于我們選擇不同的估計(jì)函數(shù)（模型）帶來的差異，而第二部分是與y無關(guān)的，這個(gè)部分可以認(rèn)為是模型的固有噪聲。

    對(duì)于上面公式的***部分，我們可以化成下面的形式：

    這個(gè)部分在PRML的1.5.5推導(dǎo)，前一半是表示偏差，而后一半表示方差，我們可以得出：損失函數(shù)=偏差^2+方差+固有噪音。

    下圖也來自PRML：

    這是一個(gè)曲線擬合的問題，對(duì)同分布的不同的數(shù)據(jù)集進(jìn)行了多次的曲線擬合，左邊表示方差，右邊表示偏差，綠色是真實(shí)值函數(shù)。ln lambda表示模型的復(fù)雜程度，這個(gè)值越小，表示模型的復(fù)雜程度越高，在***行，大家的復(fù)雜度都很低（每個(gè)人都很窮）的時(shí)候，方差是很小的，但是偏差同樣很?。▏?guó)家也很窮），但是到了***一幅圖，我們可以得到，每個(gè)人的復(fù)雜程度都很高的情況下，不同的函數(shù)就有著天壤之別了（貧富差異大），但是偏差就很小了（國(guó)家很富有）。

原文鏈接：http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2010/12/19/mathmatic_in_machine_learning_2_regression_and_bias_variance_trade_off.html