千禧年大獎(jiǎng)難題，終迎來(lái)曙光！

今天，谷歌DeepMind與NYU、斯坦福四大頂尖機(jī)構(gòu)，發(fā)布了一篇20頁(yè)的重磅論文——

他們用AI在三種不同流體方程中，發(fā)現(xiàn)了一系列新型不穩(wěn)定「奇點(diǎn)」族。

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這些「奇點(diǎn)」是數(shù)學(xué)物理學(xué)中的重大謎團(tuán)。

一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)家們描述「流體運(yùn)動(dòng)」時(shí)，常用納維-斯托克斯方程（Navier–Stokes equations）來(lái)表示。

生活中，氣流抬升飛機(jī)機(jī)翼，或是漩渦颶風(fēng)形成，都屬于這一范疇以內(nèi)。

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然而，在流體力學(xué)中，某些極端場(chǎng)景之下，這些方程會(huì)出現(xiàn)「崩潰」（break），預(yù)測(cè)出不可能存在的無(wú)限值。

一大關(guān)鍵挑戰(zhàn)在于，如何去找到方程中「不穩(wěn)定奇點(diǎn)」？

由此，谷歌DeepMind團(tuán)隊(duì)借助「物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)」（PINN），將方程直接編碼到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)中，最小化其輸出與方程要求之間的差異。

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論文地址：https://arxiv.org/pdf/2509.14185

結(jié)果，他們觀察到了一個(gè)清晰且出乎意料的模式：當(dāng)解變得越不穩(wěn)定時(shí)，其關(guān)鍵屬性之一會(huì)無(wú)限接近直線分布。

這揭示了，這些方程中此前未被發(fā)現(xiàn)的、具有全新底層數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

簡(jiǎn)單來(lái)講，當(dāng)奇點(diǎn)越來(lái)越「不穩(wěn)定」，其行為匯聚成線性分布，呈現(xiàn)出驚人的規(guī)律性。

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也就意味著，流體力學(xué)百年難題，被谷歌AI找了新解！

它將為數(shù)學(xué)、物理和工程學(xué)帶來(lái)全新突破，對(duì)天氣預(yù)報(bào)、洪水模擬、航空動(dòng)力學(xué)，乃至心血管研究，意義重大。

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千禧年大獎(jiǎng)難題，百年未解

萬(wàn)事萬(wàn)物，都遵循著定律。

幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)家們建立了各種復(fù)雜的方程，來(lái)描述流體動(dòng)力學(xué)背后的基本物理原理。

他們希望精心構(gòu)建出一些，讓理論與實(shí)踐相悖的場(chǎng)景，從而預(yù)測(cè)在物理層面絕無(wú)可能發(fā)生的情形。

在這些情形中，速度、壓力等物理量會(huì)趨于無(wú)窮，被稱之為「奇點(diǎn)」（singularity）或「爆破」 （blow up）。

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只有搞清楚了「奇點(diǎn)」，才能看到流體動(dòng)力學(xué)方程的根本局限，加速人類理解物理世界運(yùn)行方式。

其中，穩(wěn)定性是奇點(diǎn)形成過(guò)程中的一個(gè)關(guān)鍵特性。

若是一個(gè)奇點(diǎn)在微小擾動(dòng)下仍能保持穩(wěn)定，它就被認(rèn)為是「穩(wěn)定奇點(diǎn)」。

反之，「不穩(wěn)定奇點(diǎn)」的形成則需要極為苛刻的條件。

數(shù)學(xué)家們相信，復(fù)雜無(wú)邊界三維「歐拉方程」和「納維-斯托克斯方程」，不存在穩(wěn)定的奇點(diǎn)。

1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Henri Navier首次提出描述流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)方程。23年后，愛爾蘭數(shù)學(xué)家George Gabriel Stokes對(duì)其進(jìn)一步完善。

這就是，「納維-斯托克斯方程」真正誕生的源頭。

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一直以來(lái)，數(shù)學(xué)家們?nèi)晕唇鉀Q，其核心難題在于——證明方程解總是「光滑的」，或在某些條件下產(chǎn)生「奇點(diǎn)」。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，平靜的海面突然掀起海嘯的原因，與這個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題的解決有著重要的聯(lián)系。

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「納維-斯托克斯方程」解的存在性與光滑性，是克雷數(shù)學(xué)研究所設(shè)立的六大「千禧年大獎(jiǎng)難題」之一。

誰(shuí)要攻克了這一難題，就能拿下100萬(wàn)美元大獎(jiǎng)。

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陶哲軒曾與合著者曾研究了納維-斯托克斯方程解的局部和全局行為。

這一次，谷歌DeepMind或?qū)⒆钕日逻@一難題的「圣杯」。

不穩(wěn)定奇點(diǎn)，AI找到了

早在三年前，谷歌DeepMind聯(lián)手NYU斯坦福、布朗大學(xué)等團(tuán)隊(duì)開始秘密攻關(guān)。

這個(gè)團(tuán)隊(duì)，不僅有全球頂尖的數(shù)學(xué)家，還有著名的地球物理學(xué)家。

論文中，合作者們采用了一種全新AI方法，首次在三種不同的流體方程中，系統(tǒng)性地發(fā)現(xiàn)了一系列不穩(wěn)定「奇點(diǎn)族」。

研究流程圖

研究過(guò)程，主要包含兩個(gè)主要階段：

1. 找解階段

首先在自相似爆破解的空間里「撒網(wǎng)」，找到可能成立的解，一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)是標(biāo)度率λ，以圖i伯格斯方程為例。

隨后，迭代方法優(yōu)化機(jī)器學(xué)習(xí)流程（圖ii），并提升解精度。

實(shí)際算出來(lái)的候選解（圖iii）和其精度，會(huì)幫合作者調(diào)整數(shù)學(xué)模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

比如，怎么變換輸入坐標(biāo)、怎么設(shè)計(jì)輸出場(chǎng)，都屬于「歸納偏置」。

最重要的一步來(lái)了，研究人員采用「物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)」（PINN），搭配高斯-牛頓優(yōu)化器與多階段精煉訓(xùn)練方案，在尋找標(biāo)度率λ同時(shí)，生成高精度的候選解。

2.分析階段

找到候選解之后，團(tuán)隊(duì)通過(guò)偏微分方程將其線性化，來(lái)分析其穩(wěn)定性。

結(jié)果，他們發(fā)現(xiàn)了「不穩(wěn)定模態(tài)」——任何微小擾動(dòng)，都會(huì)使系統(tǒng)偏離爆破解軌跡。

由此，通過(guò)量化穩(wěn)定程度，最終找到了高精度的穩(wěn)定/不穩(wěn)定奇點(diǎn)。

如下所示，研究人員意外發(fā)現(xiàn)，隨著解的「不穩(wěn)定階數(shù)」（即解偏離爆破的獨(dú)特方式數(shù)量）增加，參數(shù)λ的值形成一條清晰的直線模式。

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這種模式，在不可壓縮多孔介質(zhì)（IPM）方程和Boussinesq方程中，清晰可見。

這暗示著，可能存在更多不穩(wěn)定的解，而它們對(duì)應(yīng)的λ值預(yù)計(jì)也將落在同一條直線上。

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此外，研究還展示了更多可視化的栗子——下圖是，其中一個(gè)方程所計(jì)算出的渦度 （Ω） 場(chǎng)。渦度是衡量流體在空間每一點(diǎn)上，旋轉(zhuǎn)劇烈程度的物理量。

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再比如，在發(fā)現(xiàn)的所有不穩(wěn)定性中，沿著一個(gè)軸穿越同一渦度場(chǎng)的一維切片圖。

圖中顯示了奇點(diǎn)，隨不穩(wěn)定性增加的演變過(guò)程。

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物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：PINN立大功

之所以能發(fā)現(xiàn)這些奇點(diǎn)，谷歌DeepMind融合了多項(xiàng)ML技術(shù)。

具體來(lái)說(shuō)，論文使用了「物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)」（PINN），去捕捉不穩(wěn)定奇點(diǎn)。

傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，需要從海量數(shù)據(jù)集中學(xué)習(xí)，而PINN則不同。

它直接嵌入物理定律，訓(xùn)練網(wǎng)格去匹配方程的預(yù)期，通過(guò)最小化「殘差」，即網(wǎng)絡(luò)解與方程要求之間的偏離量，從而「學(xué)會(huì)」遵守物理規(guī)律。

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值得注意的是，DeepMind團(tuán)隊(duì)并非簡(jiǎn)單應(yīng)用PINN，他們將數(shù)學(xué)家的直覺(jué)和洞察，嵌入到了AI的訓(xùn)練過(guò)程中。

團(tuán)隊(duì)還融合了機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)，如二階優(yōu)化器，開發(fā)出一個(gè)高精度框架，將PINN計(jì)算精度提升至前所未有的水平。

更直觀理解，其所處理的最大誤差，相當(dāng)于在預(yù)測(cè)地球直徑時(shí)，將誤差控制在幾厘米之內(nèi)。

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正如論文一作Yongji Wang所言，「通過(guò)嵌入數(shù)學(xué)見解，并達(dá)到極致精度，我們將PINN改造成為一種能夠發(fā)現(xiàn)『幽靈般』奇點(diǎn)的探索工具」。

數(shù)學(xué)新紀(jì)元，鎖定下一個(gè)圣杯

谷歌DeepMind最新研究，代表了一種數(shù)學(xué)研究的新時(shí)代——將數(shù)學(xué)洞察與AI融為一體。

它為流體動(dòng)力學(xué)注入了全新的解，有助于數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、工程師攻克長(zhǎng)期挑戰(zhàn)。

或許未來(lái)，計(jì)算機(jī)輔助證明，將能攻克科學(xué)領(lǐng)域世紀(jì)難題，迎來(lái)全新紀(jì)元。

今年1月，Demis Hassabis曾在一次采訪中暗示，團(tuán)隊(duì)即將解決一個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題，并未具體說(shuō)明。

如今看來(lái)，他所指的便是納維-斯托克斯方程。