一種基于小波神經(jīng)算子WNO的深度學(xué)習(xí)模型，用于求解一維Nagumo方程（一種反應(yīng)-擴(kuò)散方程）的時(shí)空演化問(wèn)題。該問(wèn)題被重構(gòu)為二維處理，其中空間和時(shí)間維度分別作為兩個(gè)輸入維度。首先加載并預(yù)處理Nagumo方程的模擬數(shù)據(jù)，包括初始條件和對(duì)應(yīng)解；然后定義了一個(gè)基于連續(xù)小波變換的二維WNO網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，該網(wǎng)絡(luò)通過(guò)多層小波卷積和線性變換學(xué)習(xí)從輸入（初始條件與時(shí)空網(wǎng)格）到輸出（解場(chǎng)）的映射；模型支持在不同分辨率（亞采樣、訓(xùn)練分辨率、超分辨率）上進(jìn)行訓(xùn)練和零樣本泛化測(cè)試；此外還包含基于隨機(jī)投影的梯度自由方法（用于物理信息約束的損失計(jì)算）以及結(jié)果的可視化部分。

該算法的應(yīng)用領(lǐng)域較為廣泛，主要集中于科學(xué)計(jì)算和工程領(lǐng)域的復(fù)雜系統(tǒng)建模與仿真，特別是涉及偏微分方程描述的物理過(guò)程。其核心應(yīng)用包括計(jì)算流體力學(xué)中的湍流模擬、傳熱傳質(zhì)分析、氣象預(yù)報(bào)中的天氣模式建模、金融數(shù)學(xué)中的期權(quán)定價(jià)模型（如Black-Scholes方程）、生物數(shù)學(xué)中的種群動(dòng)力學(xué)與pattern formation研究（如Nagumo方程本身描述的神經(jīng)脈沖傳播或生態(tài)競(jìng)爭(zhēng)），以及材料科學(xué)中的相場(chǎng)模擬等。該算法通過(guò)融合小波分析的多分辨率特性和神經(jīng)算子的泛化能力，能夠高效學(xué)習(xí)高維參數(shù)化PDE的解算子，適用于需要快速推演、多尺度建?；驍?shù)據(jù)與物理規(guī)律融合的復(fù)雜科學(xué)計(jì)算場(chǎng)景。

算法的詳細(xì)步驟如下：

首先進(jìn)行數(shù)據(jù)準(zhǔn)備：加載預(yù)先計(jì)算好的Nagumo方程數(shù)據(jù)集，包含初始條件和解場(chǎng)；對(duì)空間和時(shí)間網(wǎng)格進(jìn)行插值處理以適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)輸入尺寸；劃分訓(xùn)練集與測(cè)試集。

接著進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理：對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行子采樣以構(gòu)建不同分辨率的數(shù)據(jù)集；使用高斯歸一化器對(duì)輸入和解場(chǎng)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理；將標(biāo)準(zhǔn)化后的初始條件與時(shí)空網(wǎng)格坐標(biāo)拼接作為網(wǎng)絡(luò)輸入。

然后構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)模型：定義二維連續(xù)小波卷積層，初始化小波濾波器及變換參數(shù)；通過(guò)多層小波卷積與線性變換構(gòu)建編碼-解碼結(jié)構(gòu)的WNO網(wǎng)絡(luò)；設(shè)置網(wǎng)絡(luò)參數(shù)如小波類型、分解層數(shù)、通道數(shù)等。

隨后進(jìn)行模型訓(xùn)練：若為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模式，直接使用解場(chǎng)的均方誤差作為損失函數(shù)；若為物理信息模式，采用隨機(jī)投影梯度自由方法計(jì)算物理約束損失；使用Adam優(yōu)化器進(jìn)行訓(xùn)練，并采用學(xué)習(xí)率衰減策略。

訓(xùn)練完成后進(jìn)行模型預(yù)測(cè)：加載訓(xùn)練好的模型參數(shù)；對(duì)測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)并將輸出反歸一化；計(jì)算預(yù)測(cè)解與真實(shí)解之間的相對(duì)誤差。

最后進(jìn)行結(jié)果分析：在多分辨率設(shè)置下進(jìn)行零樣本泛化測(cè)試；可視化不同分辨率下的預(yù)測(cè)結(jié)果、真實(shí)解及誤差分布；生成三維曲面圖對(duì)比時(shí)空演化過(guò)程。

本文轉(zhuǎn)載自??高斯的手稿??